专题51-圆锥曲线中的对称问题(解析版)

【高考地位】在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求方程中参数的范围.这类问题涉及的知识面广，解题灵活性大，是高考中的一个热点和难点.因此，掌握这类问题的解法是必要的和重要的.【方法点评】方法一判别式法使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板：第一步假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程；第二步联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标；第三步把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式；第四步利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.例1.已知椭圆C：3x2＋4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x＋m，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.解得：－21313m21313.【点评】对于此类问题有第一种解法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1）和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生.例2、在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，-3）为OAB的直角顶点，已知OAAB2，且点B的纵坐标大于零.（1）求向量的坐标；（2）求圆02622yyxx关于直线OB对称的圆的方程；（3）是否存在实数a，使抛物线12axy上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围.【解析】（1）设),(vuAB，则由02OAABOAAB，得03410022vuvu.解得86vu，或86vu.∵，∴，得，故.（3）设),(),,(2211yxQyxP为抛物线上关于直线OB对称的两点，则：，整理得：，即21,xx为方程0225222aaxax的两个相异实根.于是由02254422aaa，得23a.故当23a时，抛物线12axy上总有关于直线OB对称的两点.【点拨】关于直线的对称圆的半径不变，只有圆心不同，所以欲求对称圆方程，只需求其圆心，即已知圆圆心的关于直线的对称点即可；若曲线上存在关于直线OB的对称两点，则该两点的连线与曲线有两相异交点，即判别式大于零，由此即可求出a的取值范围.【变式演练1】在抛物线24yx上恒有两点关于直线3ykx对称，求k的取值范围．【变式演练2】求证：抛物线y=12x2－1上不存在关于直线y=x对称的两点。证明如图2-83，若P、Q两点关于y=x对称，可设P(a、b)、Q(b，a)且a≠b，a、b∈R，则：22112112baab两式相减得：a+b=－2，b=－2－a，再代入前一式得a2+2a+2=0，其判别式△=4－80。所以aR这与题设矛盾。∴PQ两点不存在。方法二点差法使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板：第一步设出两点和中点坐标（x，y）；第二步用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式；第三步联立直线方程，求出交点，即中点；第四步由中点位置及对应范围求出参数取值范围.例3、若抛物线y=a2x-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围．解析：如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上关于直线x=-y对称的两点，则AB的方程可设为y=x+b。解法二：曲线y=ax2-1关于直线x+y=0对称曲线方程为：-x=ay2-1，解方程组：22221()1yaxyxaxyxay∵x+y≠0∴y=x－1a，代入y=a2x－1得关于x的二次方程：22(1)0axaxa，由△0得a34。点评：这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之和、两根之积，构造方程，利用△求出参数范围.当然，不管是两种解法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两点关于直线对称所产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.【变式演练3】如图倾斜角为的直线经过抛物线28yx的焦点F，且与抛物线交于AB，两点．（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（Ⅱ）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明cos2FPFP为定值，并求此定值．（II）解法一：作ACl，BDl，[来源:学&科&网Z&X&X&K]垂足分别为CD，，则由抛物线的定义知FAAC，FBBD．记AB，的横坐标分别为Ax，Bx，则cos222ApppFAACxFAcos4FA，解得41cosFA．类似地有4cosFBFB，解得41cosFB．记直线m与AB的交点为E，则1()22FAFBFEFAAEFAFAFB21444cos21cos1cossin．所以24cossinFEFP．故222442sincos2(1cos2)8sinsinFPFP·．【高考再现】1.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线:20lxy，抛物线2:y2(0)Cpxp（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2,).pp；②求p的取值范围.【答案】（1）xy82（2）①详见解析，②)34,0(（2）设1122(x,y),(x,y)PQ，线段PQ的中点00(x,y)M因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为.yxb①由22ypxyxb消去x得2220(*)ypypb因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以12,yy从而2(2)4(2)0ppb，化简得20pb.方程（*）的两根为21,22ypppb，从而120.2yyyp因为00(x,y)M在直线l上，所以02.xp因此，线段PQ的中点坐标为(2,).pp②因为M(2,).pp在直线yxb上所以(2)bpp，即22.bp由①知20pb，于是2(22)0pp，所以4.3p因此p的取值范围为4(0,).3考点：直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．2.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C：22yx的焦点为F，平行于x轴的两条直线12,ll分别交C于,AB两点，交C的准线于PQ，两点．（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；（II）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21yx．【解析】（Ⅰ）由于F在线段AB上，故01ab.记AR的斜率为1k，FQ的斜率为2k，则222111kbaabaababaabak，所以ARFQ.......5分（Ⅱ）设l与x轴的交点为)0,(1xD，则2,2121211baSxabFDabSPQFABF.由题设可得221211baxab，所以01x（舍去），11x.设满足条件的AB的中点为),(yxE.当AB与x轴不垂直时，由DEABkk可得)1(12xxyba.而yba2，所以)1(12xxy.当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为12xy.....12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．3.【2016湖南六校联考，理12】已知,AB分别为椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点，不同两点,PQ在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线,APBQ的斜率分别为,mn，则当21lnln2bamnabmn取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．33B．23C．12D．22【答案】D【解析】设点00(,)Pxy则2200221xyab，∴22bmna，从而21lnln2bamnabmn22222ln2baababba，设22bxa，令1()ln(01)2fxxxx，则max2211(),()()22xfxfxfx即2212ba，222baab，当且仅当2baab即2212ba取等号，取等号的条件一致，此时222112bea，∴22e．故选D．4.【2016江西师大附中、鹰潭一中一联，理20】已知抛物线C的标准方程为)0(22ppxy，M为抛物线C上一动点，)0)(0,(aaA为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为18．（1）求抛物线C的标准方程；（2）记ANAMt11，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．（ⅰ）0a时，12120yya∵，12yy∴，同号，又22121111||||1||1||tAMANmymy，2221222222212()111441111()11441yymtmyymaamgg∴，不论a取何值，t均与m有关，即0a时，A不是“稳定点”；5.【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为'2222(,)yxPxyxy；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，现有下列命题：若点A的“伴随点”是点'A，则点'A的“伴随点”是点A.单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是.【答案】②③【解析】考点：1.新定义问题；2.曲线与方程.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．6.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C：22(0)ypxp于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.（I）求OHON；（II）除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.【答案】（I）2（II）没有【解答】试题分析：先确定),(2tptN,ON的方程为xtpy,代入pxy22整理得0222xtpx,解得01x,ptx222,得)2,2(2tptH,由此可得N为OH的中点,即2||||ONOH.（II）[来源:]把直线MH的方程xtpty2,与pxy22联立得04422ttyy,解得tyy221,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.考点：直线与抛物线【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证