电子科技大学矩阵理论!

返回第二章向量与矩阵的范数返回1向量的范数；0||0||)1(向量范数的性质：1定义.||||的范数上向量为则称映射xCn;0||||0,0||||)1(xxx时，当且仅当正定性满足：映射设RCn||:||;,||,||||||||)2(nCxRxx齐次性.,||,||||||||||)3(nCyxyxyx三角不等式;1||||||1||0)2(xxx时，返回||;||||||)3(xxCxn，有对任意.||||||||||||||,)4(yxyxCyxn，有对任意1例12()nnxx,x,,xC设，则11(1)nii||x|||x|范数11(3)iin||x||max|x|21221(2)()n/ii||x|||x|范数2无穷范数返回2例1/1||||(||)1npppiixxp12(,,,)nnxxxxC设，则.lderoH..范数上的向量范数，称为是nC..1(Holder)定理不等式11,11pqpq若，且，1212(,,,),(,,,)nTnTnCxxxxyyyy则对任意向量都有1/1/111||||(||)(||)nnnppqqiiiiiiixyxy返回定义2两种向上定义了在设banxxPV||||,||||)(，使得量范数，若存在常数0,021CC12||||||||||||()abanCxxCxxVP.||||||||等价与则称baxx定理3.)(均等价上的任意两个向量范数PVn定理2，则上的范数，是设nmnmCAC||||.||||上的范数是nCA返回定义3，如果设nTknkkkCxxxx),,,()()(2)(1)(),,2,1(lim)(niaxikik).,,,(21)(nkaaaax收敛于则称向量序列定义4axkk)(lim0||||lim)(axkk定理4axkk)(lim0||||lim)(axkk上的任一向量范数，则是设nC||||返回§2矩阵的范数定义1RPPAnmnm：，若映射设||||满足.||||上的矩阵范数为则称映射nmp;0||||,0||||)1(AAA时，当且仅当正定性(2)||||||||||,,;mnAAPAP齐次性.,||,||||||||||)3(nmPBABABA三角不等式返回例1，则设nmPAnjmiijmaA11||||||121112)||(||||2njmiijmaAnjmiaAijjim11|}{|max||||,返回定义2,:||||,:||||RPRPnlblma设是矩阵范数，如果RPnmc:||||bacBAAB||||||||||||.||||||||,||||相容和则称矩阵范数cba如果||||||||||||BAAB.||||是自相容矩阵范数则称返回例2njmiaAijjim11|}{|max||||,.是不相容的矩阵范数例如2222AB2||||mAB1||||||||mmBA1111BA返回例3.||||||||21是相容的矩阵范数和mm返回定理3,nnPA设则若),,,,()1(21naaaAniimFaAA12222||||||||||||2.||||22iHiiaaa其中，niHiHmAAAAtrA12)()(||||)2(2，有、对任意的酉矩阵nnPVU)3(222222||||||||||||mHmHmUAVAVUA返回推论1,nnPA设，、对任意的酉矩阵nnPVU有2222||||||||||||||||mmmmUAVAVUAA返回一、算子范数定义1是上的向量范数，是设mnaP||||||||上的矩阵范数，且nnPamaxAAx||||||||||||.||||||||相容的矩阵范数为与向量范数则称am3.算子范数返回例1.||||1相容的矩阵范数是与向量范数，则设nnnPAPx,njniijmaA11||||||1例2.相容的矩阵范数2||||||||,2xAPAPxmnnn是与，则设返回定理1则上的向量范数是设,,||||nnnaPAPxaaxaxAxA||||||||max||||||||1(max||||)aauAu.||||相容的矩阵范数是与向量范数ax推论1,,||||nnnaPBAPx、上的向量范数是设容的的算子范数，则它是相是从属于aaxA||||||||矩阵范数，即aaaBAAB||||||||||||返回算子范数的特性：相容的矩阵范数中它是所有与向量范数ax||||)1.最小的||||||||||||max||||AxAxAaaxa它的两种表达形式)2aaxaxAxA||||||||max||||||||1(max||||)aauAu3).阵数论它是自相容矩范(推1)返回定理2存在向量是相容的矩阵范数，则设m||||，使范数||||x||||||||||||xAAxmP63页，相容的矩阵范数一定存在与之相容的向量范数。返回定理3是一相容的矩如果RCnnm:||||miA||||||，有阵范数，则对任一nnCA.的特征值是其中，Ai返回例4的算子范数为从属于向量范数1||||x)||(max||||11niijjaA.被称为极大列和范数二、算子范数的计算:例5的算子范数为从属于||||x)||(max||||1njijiaA.被称为极大行和范数返回例6的算子，则从属于设2||||xPAnm为范数（又称为谱范数）)(||||2AArAH定义2的特征值，则是，设ACAinn.的谱半径称为A||max)(iiAr返回定理4，则设nnCA2222||||||||||||||||)1(AAAATH2222||||||||||||)2(AAAAAHH都有及阶酉矩阵对任何VUn)3(2222||||||||||||||||AUAVAVUA三、谱范数的性质返回定理5，则设nnCA||max||||)1(1||||||||2AxyAHyx||||||||||||)2(122AAA返回第三章矩阵的分解返回§1矩阵的三角分解一、n阶方阵的三角分解2.两个上三角矩阵、的乘积也是上三角矩阵,且对角元是与对角元之积;21RR21RR21RR1.上三角矩阵R的逆也是上三角矩阵,且对角元是R对角元的倒数;1R3.酉矩阵U的逆也是酉矩阵;1U4.两个酉矩阵之积也是酉矩阵.21UU返回返回返回返回返回返回定义3：定理3：二、任意矩阵的三角分解返回定理4：返回定理5：返回§2矩阵的谱分解一、单纯矩阵的谱分解定义1的相异特征值，是设nnkCA,,,21代数重复度的特为矩阵则称其重数分别为Arrrrik,,,,21的征值i返回定义2),,2,1(kixAxi齐次方程组几何重复度的特征的对应于特征值称为的解空间iAVi的的特征值的维数称为空间，则iAVi定义3为称矩阵与几何重复度相等，则复度的每个特征值的代数重若矩阵AA单纯矩阵返回定理3返回:的性质iA返回定理4返回二、正规矩阵及其分解定义3满足阶复矩阵若An正规矩阵.AAAAHH为则称A引理1酉相似，则与为正规矩阵，设BAA为正规矩阵B返回引理2，则存在酉矩阵设nnCASchur)(HURUA，使得U对角线上的是一个上三角矩阵且主其中，R.的特征值元素为A引理3是，则正规矩阵且是三角矩阵设AA.对角矩阵返回定理5是正规矩阵的充要条件阶复矩阵An.与对角矩阵酉相似是A，阶酉矩阵即存在Un使得HnUUdiagA),,,(21.,,,21个特征值的是其中，nAn返回定理6返回§3Hermite矩阵及其分解定义1,nnHACAAAHermite是矩阵(1)(,)(,),,nAAC,nnHACAAAHermite是反矩阵2.Hermite矩阵的基本性质(,)()HAAHHAHA(,)A返回(2),()iiRA(3),,(,)0iiijjjijijAxxAxxxx00(4)00,()000prpEAErankAr与矩阵合同其中10(5),.0HnUAUU其中为酉矩阵返回3.正定Hermite矩阵的基本性质与分解返回返回3.半正定矩阵的基本性质返回定理1,,,,nnHABCABBT设为正定矩阵,则存在可逆矩阵使得,.HHnTATETBTD返回§4矩阵的最大秩分解定理1,,rmrnmrCBCA则存在矩阵设BDA，使得nrrCD返回矩阵的最大秩分解步骤：化为行标准形：一、进行行初等变化，000000000000*10000*01000*00*10~A1i2iri返回定理2均且设2211,DBDBACAnmr，使得阶可逆矩阵存在Qr)1(的最大秩分解，则为A21121DQDQBBHHHHBBBDDD11111111)()()2(HHHHBBBDDD21221222)()(返回)()()(.1HHAArankAArankArank左逆注rrrHmrrHrmrCBBCBCB,.2，则rHHEBBBB1)(那么rrrHrnrHnrrCDDCDCD,.3，则rHHEDDDD1)(那么右逆返回§5矩阵的奇异值分解定理1则有设,nmrCA)()()()1(HHAArankAArankArank的特征值均为非负实数、HHAAAA)2(.)3(的非零特征值相同、HHAAAA定义1的特征值为设AACAHnmr,0121nrr.),,2,1(的正奇异值为则称Ariii返回定义2如果存在酉矩阵、设,nmCBA使得和,nnmmCVCUUBVA.酉等价与则称BA定理2有相同正与酉等价，则与若BABA.奇异值返回定理3个正的是设rACArnmr,,,,21,nnmmCVCU和VDUA000奇异值，则存在酉矩阵使得12,(,,,).rDdiag其中返回4.1特征值界的估计定理1(Shur不等式)的特征值为设nnCA211212||||||||FninjijniiAa则,,,,21n.为正规矩阵且等号成立当且仅当A返回11()(),()()22HHijijBbAACcAA},,,,{,,21nCBA的特征值分别为且满足},,,,{},,,,{2121nniii|,|||||21n12,n12.n返回定理2(Hirsch)的特征值为设nnCA则,,,2n,1|,|max||)1,ijjiian|,|max|Re|)2,ijjiibn|,|max|Im|)3,ijjiicn定理3(Bendixson)的任一特则设ARAnn,满足值i||max2)1(|Im|,ijjiicnn返回定理4则定义同上设,,,,,,iiinnCBCA11Im,Reinin定理5(Browne):的特征值为设nnCA则奇异值为,,,,212nn,1),,2,1(||1ni