第三章多自由度体系的振动1

1第三章多自由度体系的振动2第三章多自由度体系的振动§3.1两个自由度体系的自由振动§3.2多自由度体系的自由振动§3.3主振型的正交性和正则坐标§3.4多自由度体系的强迫振动41、平衡力系法如图，两集中质量和通过三个弹簧、和相互联结，在任意一时刻它们偏离其平衡位置的水平位移分别为和。1m2m1k2k3k)(1ty)(2ty3.1两个自由度体系的自由振动23122221221111)()(ykyykymyykykym根据两质量块的平衡条件，可以得到：5表示成矩阵形式：0)(0)(23212222212111ykkykymykykkym0}]{[}]{[yKyM式中：1212{}[,],{}[,]TTyyyyyy整理：32222121][,00][kkkkkkKmmM3.1两个自由度体系的自由振动2个自由度体系的自由振动写成一般形式：0021222112112122211211yykkkkyymmmm60021222112112122211211yykkkkyymmmm对于图中结构体系，有22112322221112112222111,,0,,kkkkkkkkkmmmmmm3.1两个自由度体系的自由振动7假设两个质点为简谐振动，上式的解设为：)sin()()sin()(2211tYtytYty位移振幅和，以及频率和相位角均为待定参数。1Y2Y0021222112112122211211yykkkkyymmmm3.1两个自由度体系的自由振动81）、在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角。常数2121)()(YYtyty)sin()()sin()(2211tYtytYty2）、在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但两者的比值始终保持不变：3.1两个自由度体系的自由振动900222121222212111121YkYkmYYkYkmY)sin(t0021222112112122211211yykkkkyymmmm)sin()()sin()(2211tYtytYty2111112222112222()0()0kmYkYkYkmY3.1两个自由度体系的自由振动齐次方程有非零解的条件为其系数行列式等于零，即:0222221121211mkkkmkD该式是固有频率应满足的条件，称为频率方程或特征方程。（eigenequationorcharacteristicequation）利用这个方程可计算固有频率102121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk展开上式，求得的两个根为:2正实根，仅依赖于结构体系的物理性质，即质量和弹簧刚度。0222221121211mkkkmkD3.1两个自由度体系的自由振动具有两个自由度的体系共有两个自振频率，12表示其中最小的圆频率，称为第一圆频率或基本圆频率（fundamentalfrequency）；称为第二圆频率。11比值所确定的振动形式就是与第一圆频率相应的振型，称为第一振型或基本振型（fundamentalmode）21/YY1121111122022112222()0()0DkmYkYkYkmY分析频率各自对应的振型(1)112(1)221111YkYkm3.1两个自由度体系的自由振动1221112)2(2)2(1mkkYY和表示第二振型中质点1和2的振幅。)2(1Y(2)2Y1m2m下标与质量和相对应，上标表示模态号码。)1(2)1(1/YY)2(2)2(1/YY由于模态方程是齐次的，所以及只有相对关系。12振型计算公式频率计算公式频率方程)sin()()sin()(2211tYtytYty002221212221211111ykykymykykym....振型方程0)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk为了得到Y1、Y2的非零解，应使系数行列式=00222221121211mkkkmkD展开是ω2的二次方程，解得ω2两个根为：2121122211222211122211122,12121mmkkkkmkmkmkmk可以证明这两个根都是正根。与ω2相应的第二振型：12211122212mkkYY因为D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值，只能求出其比值求与ω1相应的第一振型：12111122111mkkYY14与ω2相应的第二振型：212211122212mkkYY求与ω1相应的第一振型：112111122111mkkYY2个自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始位移和初始速度应当与此主振型相对应。在这种特定的初始条件下出现的振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解。3.1两个自由度体系的自由振动15方程的全解:0)(0)(23212222212111ykkykymykykkym)sin()sin()()sin()sin()(22)2(2211)1(21222)2(1211)1(111tYAtYAtytYAtYAty1A122A其中，、、和由初始条件确定。3.1两个自由度体系的自由振动一般情况下，体系的自由振动不是主振动，而是两种不同频率及其振型的组合振动:16例试分析图示结构体系的固有频率和振型。已知：。kkkkmmm32121,0202212211kykyymkykyym解：体系的运动方程为：0)(0)(23212222212111ykkykymykykkym3.1两个自由度体系的自由振动170202212211kykyymkykyym)sin()()sin()(2211tYtytYty体系的运动方程为：设方程的解为：0222122YYmkkkmk3.1两个自由度体系的自由振动上式有非零解的条件是系数行列式为零：02222mkkkmk2/122/113,mkmk展开行列式，可以求得18第一模态（振型）为两个质量一起振动，无相对位移，中间一个弹簧不起作用，只有第一和第三个弹簧起作用，其结果类似于质量为2m、弹簧系数为2k的单自由度体系的振动；以横坐标表示系统的静平衡位置，纵坐标表示各点的振幅，体系的主振型图。第二模态（振型）为两个质量作相反振动，中间一个弹簧的中点始终不动。计算振型：11221)1(2)1(1)1(mkkYYY11222)2(2)2(1)2(mkkYYY3.1两个自由度体系的自由振动191、主振动:结构体系以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为体系的主振动。2、各点同时经过静平衡位置，并同时到达最大偏移位置，以确定的频率和振型作简谐振动。3.1两个自由度体系的自由振动3、自由度体系自振频率的个数=其自由度数，自振频率由特征方程求出。4、每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。5、自振频率和主振型是体系本身的固有特性。总结：20y1(t)r2r1y2(t)y1(t)y2(t)r2r122ym..002221212221211111ykykymykykym....0,0222111rymrym....11ym..2、刚度法3.1两个自由度体系的自由振动22212122121111ykykrykykr如图，具有两个集中质量的结构体系，两个自由度21y1(t)y2(t)r2r1乘y1(t)k11k21乘y2(t)k12k2211r1=k11y1+k12y2r2=k21y1+k22y2kij表示使j点产生单位位移(其它点位移=0)时,在i点需施加的力(称为刚度系数).3.1两个自由度体系的自由振动22例：m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、k2k21k111解：求刚度系数：k11=k1+k2,k21=－k2,k22k121k22=k2,k12=－k20222221121211mkkkmkD0))((222221221kmkmkk1)当m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.225322mkmk38197.025321()()kmkmk02222mkmk61803.161803.021代入频率方程：2121122211222211122211122,12121mmkkkkmkmkmkmk+231)当m1=m2=m,k11=2k，k12=－ｋmkmk61803.225322mkmk38197.025321求振型：618.1138197.02kkk12k12111mk2111YYω1→第一主振型：Y21=1.618Y11=1第一主振型618.0161803.22kkk12k12211mk2212YYω2→第二主振型：Y22=－0.618Y11=1第二主振型240))((222221221kmkmkk2)当m1=nm2,k1=nk2k11=（1+n）k2，k12=－k20)]()1[(22222222kmknmkn求频率：求振型：如n=90时1101121YY191222YY当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。（鞭梢效应）2192112YY第一振型：第二振型：特征方程：222214122112mknnn[phone]()1()1(222212121112nnnnknmknkmkYY+2121122211222211122211122,12121mmkkkkmkmkmkmk+25y1(t)y2(t)•建立振动微分方程：（建立位移协调方程）m1、m2的位移y1(t)、y2(t)应等于体系在当时惯性力作用下所产生的静力位移。11ym..22ym..1212(),()mtmytyδ11δ21P1=1δ12δ22P2=13、柔度法3.1两个自由度体系的自由振动26222221112122211111)()()()()()(tymtymtytymtymty........22ym..y1(t)y2(t)11ym..δ11δ21P1=1δ12δ22P2=13.1两个自由度体系的自由振动是结构体系的柔度系数(flexibilitycoefficient)，即体系在点j承受单位力时，在点i产生的位移。ij27)sin()()sin()(2211tYtytYty)sin(t222221112122