自动控制原理第四次课—传递函数及结构图简化

2－3传递函数(transferfunction)传递函数的概念与定义线性定常系统在输入、输出初始条件均为零的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。返回子目录这里，“初始条件为零”有两方面含义：0一指输入作用是t＝0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在t=时的值为零。0二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，即t=时，系统的输出量及各阶导数为零。许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的。一、传递函数的概念与定义G(s)Ur(s)Uc(s))s(U)s(U)s(Grc=传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分子，分母的阶次是：。nm二、关于传递函数的几点说明•传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉氏变换导出；•传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、输出无关；•传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，因为()()()GsCsRs=／当时，，所以，()()rtt=()1Rs=111()()()()()ctLCsLGsRsLGs===一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。这将在第四章根轨迹中详述。传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。三、传递函数举例说明例1.如图所示的RLC无源网络，图中电感为L（亨利），电阻为R（欧姆），电容为C（法），试求输入电压ui(t)与输出电压uo(t)之间的传递函数。uiRCucLi解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感组成，利用电路理论可方便地求出其动态方程，对其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为R、1∕Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。则传递函数为2()1/1()1/1oiUssCUsLsRsCLCsRCs==()1/()iUsLsRsCIs=()1/()oUssCIs=四、典型环节•一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见的几种形式有：①比例环节，传递函数为：()GsK=②积分环节，传递函数为1()Gss=③微分环节，传递函数为()Gss=④惯性环节，传递函数为1()1GsTs=⑤一阶微分环节，传递函数为()1Gss=式中：，T为时间常数。⑥二阶振荡环节，传递函数为221()21GsTsTs=式中：T为时间常数，为阻尼系数。⑦二阶微分环节，传递函数为22()21Gsss=式中：为时间常数，为阻尼系数此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间为，该环节的传递函数为：()sGse=2－4动态结构图动态结构图是一种数学模型，采用它将更便于求传递函数，同时能形象直观地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。返回子目录一、动态结构图的概念系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成动态结构图的基本符号有四种，即信号线、传递方框、综合点和引出点。1.信号线表示信号输入、输出的通道。箭头代表信号传递的方向。2.传递方框G(s)方框的两侧为输入信号线和输出信号线，方框内写入该输入、输出之间的传递函数G(s)。3.综合点综合点亦称加减点，表示几个信号相加、减，叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线的箭头附近标以负号。＋省略时也表示＋4.引出点表示同一信号传输到几个地方。()Us()Us二、动态结构图的基本连接形式1.串联连接G1(s)G2(s)X(s)Y(s)方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称为串联连接。2.并联连接G1(s)G2(s)X(s)－＋Y(s)两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形式的连接称为并联连接。3.反馈连接一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。G(s)R(s)－C(s)H(s)三、系统动态结构图的构成•构成原则：按照动态结构图的基本连接形式，构成系统的各个环节，连接成系统的动态结构图。•以机电随动系统为例，如下图所示举例说明系统动态结构图的构成对象方程组如下：()()()()aaaaabUsRIsLsIsEs=()()()ercsss=()()sseUsKs=()()aasUsKUs=()()mmaMsCIs=2()()mmmJssMfss=1()()cmssi=()()bbmEsKss=系统各元部件的动态结构图(1))(sr)(sc)(se()()()()aaaaabUsRIsLsIsEs=()()()ercsss=()()sseUsKs=()()aasUsKUs=()()mmaMsCIs=2()()mmmJssMfss=1()()cmssi=()()bbmEsKss=)(sr)(sc)(se系统各元部件的动态结构图(2))(sr)(sc)(sesK)(sUs()()()()aaaaabUsRIsLsIsEs=()()()ercsss=()()sseUsKs=()()aasUsKUs=()()mmaMsCIs=2()()mmmJssMfss=1()()cmssi=()()bbmEsKss=)(sesK)(sUs系统各元部件的动态结构图(3)aK)(sUs)(sUa)(sr)(sc)(sesK)(sUsaK)(sUa()()()()aaaaabUsRIsLsIsEs=()()()ercsss=()()sseUsKs=()()aasUsKUs=()()mmaMsCIs=2()()mmmJssMfss=1()()cmssi=()()bbmEsKss=系统各元部件的动态结构图(4)()()()()aaaaabUsRIsLsIsEs=()()()ercsss=()()sseUsKs=()()aasUsKUs=)(sr)(sc)(sesK)(sUsaK)(sUa1aaLsR()bsE()asI()()mmaMsCIs=2()()mmmJssMfss=1()()cmssi=()()bbmEsKss=()()mmaMsCIs=2()()mmmJssMfss=1()()cmssi=()()bbmEsKss=系统各元部件的动态结构图(5)()()()()aaaaabUsRIsLsIsEs=()()()ercsss=()()sseUsKs=()()aasUsKUs=)(sIamC)(sMmmC)(sMm)(sr)(sc)(sesK)(sUsaK)(sUa1aaLsR()bsE()asI()()mmaMsCIs=2()()mmmJssMfss=1()()cmssi=()()bbmEsKss=系统各元部件的动态结构图(6))(sr)(sc)(sesK)(sUsaK)(sUa1aaLsR()bsE()asI)(smsfJs21mC)(sMm()()()()aaaaabUsRIsLsIsEs=()()()ercsss=()()sseUsKs=()()aasUsKUs=)(sMm)(smsfJs21sfJs1()()mmaMsCIs=2()()mmmJssMfss=1()()cmssi=()()bbmEsKss=系统各元部件的动态结构图(7)()()()()aaaaabUsRIsLsIsEs=()()()ercsss=()()sseUsKs=()()aasUsKUs=)(smsKb)(sEb)(sr)(sc)(sesK)(sUsaK)(sUa1aaLsR()bsE()asI)(smsfJs21mC)(sMmbsK系统各元部件的动态结构图(8)()()()()aaaaabUsRIsLsIsEs=()()()ercsss=()()sseUsKs=()()aasUsKUs=()()mmaMsCIs=2()()mmmJssMfss=1()()cmssi=()()bbmEsKss=)(smi1)(sci1)(sc)(sr)(sc)(sesK)(sUsaK)(sUa1aaLsR()bsE()asI)(smsfJs21mC)(sMmbsK四结构图的等效变换思路：在保证总体动态关系不变的条件下，设法将原结构逐步地进行归并和简化，最终变换为输入量对输出量的一个方框。1.串联结构的等效变换（１）•串联结构图G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)•等效变换证明推导)()()(1sRsGsU=G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s))()()(2sUsGsC=1.串联结构的等效变换（２）•等效变换证明推导)()()()()()()()(2121sGsGsRsCsRsGsGsC==G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1.串联结构的等效变换（３）•串联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s)•G2(s)R(s)C(s)两个串联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的乘积。1.串联结构的等效变换（４）2.并联结构的等效变换•并联结构图C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s)等效变换证明推导(1)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s))()()(11sRsGsC=)()()(22sRsGsC=2.并联结构的等效变换•等效变换证明推导C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s))()()()()()]()([)(2121sGsGsRsCsRsGsGsC==并联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)两个并联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的代数和。3.反馈结构的等效变换•反馈结构图G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)C(s)=?3.反馈结构的等效变换•等效变换证明推导)()()(1)()()(),()()()()()()()()()(sRsHsGsGsCsBsEsBsRsEsHsCsBsEsGsC====得消去中间变量G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)3.反馈结构的等效变换•反馈结构的等效变换图G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)R(s)C(s))()(1)(sGsHsG4.综合点的移动（后移）•综合点后移G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s)G(s)R(s)C(s)Q(s))()]()([)(sGsQsRsC=综合点后移证明推导（移动前）G(s)R(s)C(s)Q(s)？?)()()()(=sQsGsRsC综合点后移证明推导（移动后）?)()()()(=sQsGsRsC移动前)()()()()(sGsQsGsRsC=G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)？移动后综合点后移证明推导（移动前后）G(s)R(s)C(s)Q(s)？)(?sG=?)()()()(=sQsGsRsC)()()()(sGsQsGsR=综合点后移证明推导（移动后）G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)综合点后移等效关系图G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s)综合点前移G(s)R(s)C(s)Q(s))()()()(s