第4章-鞅与Brown运动(应用随机过程-陈萍)

1应用随机过程第四章鞅与Brown运动教师:陈萍[e-mail]2鞅论是现代概率论中的一个重要内容.也是随机过程和数理统计研究的重要工具.“鞅”原意有“赌输后加倍赔偿”的含义.但是鞅论本身在近年来的迅猛的发展却有着理论和实际两方面的需要。一方面,鞅是独立随机变量部分和的自然推广，人们致力于把概率论中的极限理论推广到鞅上去。另一方面，在随机过程和数理统计的研究中，人们遇到了形形色色具体的鞅，形成了鞅论研究的强大推动力。第四章鞅与Brown运动3定义4.1.1设(,F,P)为概率空间,,{Ft,tT}为F的单调递增子代数族，若{Mt,tT}为(,F,P)上的随机过程，满足1）{Mt,tT}适应于{Ft,tT},即Mt关于Ft可测;2）t,E[|Mt|]∞;3）s≤t,E[Mt|Fs]=Ms则称{Mt,tT}为Ft鞅,或{Mt,Ft,tT}是鞅.注:如果T={0,1,2,….},则3）改为k,E[Mk+1|Fk]=Mk§4.1.1鞅RT将3）改为s≤t,E[Mt|Fs]≤Ms,则称{Mt,tT}为上鞅；改为s≤t,E[Mt|Fs]Ms,则称{Mt,tT}为下鞅.4鞅的例子例4.1.1设{n,n1}为(,F,P)上的随机序列,Fn=(0,…,n),若E(n+1|Fn)=0,令nkknX0,则{Xn,n∈N}是鞅.若n是非负的则{Xn,n∈N}是下鞅.定义4.1.2设是定义在概率空间的随机序列，为的单调递增子代数族，如果对每个，存在，且，则称为鞅差序列。...,...,10nP,,FTtt,FNnnnEF|10|1nnEFNnnn,,F5例4.1.2设nn=1,2,…是均值为1的独立随机变量序列,，则{Xn,n∈N}是鞅.niinX1例4.1.3设是(,F,P)上的随机变量,{Fn}是(,F)上的单调递增子代数族,则{Xn=E(|Fn),n∈N}是鞅.例4.1.4（Polya坛子抽样模型）考虑一个装有红、黄两色球的坛子。假设最初坛子中装有红、黄色球各一个，每次都按如下规则有放回地随机抽取；从坛子中任取一球，观察其颜色后放回，同时再加入一个同色的球。以Xn表示第n次抽取后坛子中的红球所占的比例,则Xn是鞅。64.1.2鞅的性质定理4.1.1设Mt为下鞅(或鞅).则E(Mt)是t的非降函数。(或常数)定理4.1.2设Xt,Yt为Ft-下鞅(或鞅).则i)a≥0,b≥0,aXt+bYt是Ft-下鞅(或鞅).ii){Xt∨Yt}是Ft-下鞅.iii)设:R→R是非降的凸函数(或凸函数)，满足：t≥0，E[(Xt)]存在.则(Xt)是下鞅.特别,若Xt是鞅且存在p≥1，使E[|Xt|p]∞，则{|Xt|p}是下鞅.7例4.1.5欧式期权定价模型股票价格模型假定无风险利率为r,每一阶段股票价格上升的概率为p,下降的概率为1-p,期权在n时刻的价值为Vn=g(Sn).且记(1),1,2,3,4kkrSk是鞅。求期权在0时刻的价值V0.,0,1,...,klSlkF设kFSuSdSSu2udSSd2nuSndS1nudS#()#()HTudS1nudS……………80000001111111(1)1,2,...1kkkkkkkkkkkXSXSXSrXSSXSkn假定存在，使011,...,nnnnXVgS则01()nnVrEgSkF011,...,n设是适的有界随机序列，构造投资组合过程：9定义4.1.3设{Ft,tT}是(,F)上的单调递增子代数族.:→[0,∞)。若对t≥0,,)(;ttF定理4.1.3映射:→[0,∞)是停时，当且仅当,)(;ttF§4.1.3停时与停时定理当{Ft}t≥0满足通常条件时,停时与下列可选时一致.则称是关于{Ft,tT}的停时。10例4.1.6t=0X=1元2元t=10.5元4元1元0.25元t=28元2元0.5元0.125元........},,,{}(},,{}(2211TTTHHTHHXTHXFF},...,,,,,{}(33TTTTTHTHTTHHHHTHHHXF()inf{;()2}kkX11例4.1.7令ERn为开集.则首达时inf{0;}EttXE是{Ft}停时.因为srsrQrEEXsF};{}:{类似地，首离时};0inf{EXttE是{Ft}停时.因为srsrQrEEXsF};{}:{12定义4.1.4设为{Ft}停时，令F∞为包含所有Ft的最小–代数.令{}tAt：A，tTFFF定理4.1.4若是停时,则TttAAt,}{FF定理4.1.5若为停时,X为随机变量,则X是F可测的,当且仅当是Ft可测的.0,ttX称F为τ前–代数。131.令i,i=1,…,n为停时,T=(0,∞),则iiiiiiiilim,lim,inf,sup,,,212121停时的性质：也是停时。(),(),();,..asFFF2.定理4.1.6(停时定理)设(,F,P)为概率空间，Ft满足通常条件.Mt为右连续Ft-鞅(或下鞅,上鞅).令{t}t≥0为有界Ft-停时，满足..,,1}{satsPts则,0tMttF是-鞅.14例4.1.8设{Gk,k=0,1,…，n}为{Fk}适的L1随机变量序列，为{Fk}停时，max|,0,1,...,kkkVEGknF则，（1）(2)是上鞅.(3)V0在处达到最大.,0,1,...kVkn,.kkVGas*min{,}kkkVG0,,F15§4.2Brown运动Brown运动最初是由英国生物学家R.Brown于1827年根据观察花粉在液面上作”无规则运动”的物理现象而提出的.Einstein于1905年首次对这一现象的物理规律给出了一种数学描述,使这一课题有了显著的发展.Wiener于1918年对这一现象在理论上作出了精确的数学描述,并进一步研究的Brown运动的轨道性质,提出了在Brown运动空间上定义测度与积分.Brown运动作为具有连续参数和连续状态空间的一个随机过程,是一个最基本,最简单同时又是最重要的随机过程.许多其它的随机过程常常可以看作是它的泛函或某种意义下的推广.Brown运动及其推广广泛出现在许多科学领域中,如物理,经济,通信理论等.同时,由于Brown运动与微分方程有密切联系,它又成为概率与分析联系的重要渠道.164.2.1随机游动与Brown运动考虑在一直线上的简单的对称的随机游动.设质点每经过Δt时间,随机地以概率p=1/2向右移动Δx0,以概率q=1/2向左移动Δx,且每次移动相互独立,记次质点向左移动第次质点向右移动第iiXi11若Bt表示t时刻质点的位置,则有tttXXXxB...21显然,ttxBVarBEtt2,017以上简单随机游动可以作为微小粒子在直线上作不规则运动的近似.实际粒子的不规则运动是连续进行的,为此,考虑的情形.由物理实验得知,当越小时,每次移动的也越小,且在许多情况下,有---以下均作如此假定.0ttxtx~对任意st,记则tisti[]1tsttssiitBBxX由中心极限定理,当即时,有0ttststxxtstxxXxPttstiitst2200][00limlim18于是2,0~,stNBBtsst这就得到了由直线上的简单的对称的随机游动极限来描述的质点在直线上作不规则运动的数学描述:随机过程,满足(1)具有独立增量性;(2)(3)关于t是连续函数.0,tBt2,0~,stNBBtssttB将以上描述推广到n维空间1不失一般性,设19一般地，若P{B(0)=x}=1，称{Bt}为从x出发的Brown运动.记{Bt}在Rn中的导出测度为Px.特别，如果P{B(0)=0}=1，则称{Bt}为标准{Ft}tTBrown运动.其导出测度仍记为P.显然，Def4.2.1设(,F,P)为概率空间,{Ft}tT是(,F)上的单调递增子代数族.{Bt,t0}是取值于Rn且关于{Ft}tT适的随机过程，如果i)0st,B(t)-B(s)与Fs独立，ii)iii)关于t连续.则称{Bt,tT}为n维{Ft}tTBrown运动,~0,tsstBBNtsItB,0|xtttPBbPBbBxPBxbx20IstsBtBsBtBEsBtBEtsss)(]|))()())(()([(0]|)()([,FF4.2.2Brown运动的性质(i){Bt}是Gaussian过程，221(,;,)exp(),2()2()0;,nnyxpsxtytstsstxyR于是，其转移概率密度是21ii)令Bt为一维标准Brown运动,则uR)21exp(2tueEtiuBNktkkBEkkkt;!2)!2(2(习题4.11)22),...()()1(ntttBBBnjBtjt1,}{0)(iv)若是n-维Brown运动,则各1-维分量过程独立,且均为Brown运动.v)设Bt为Brown运动，则给定00t0;00~tBBBtttt仍为Brown运动.(习题4.8)vi)设Bt是n维标准Brown运动,U是正交矩阵,则UBt仍是Brown运动.(习题4.9)234.2.3Brown运动的轨道性质定义4.2.2设是连续时间随机过程，若对某个p0及每个t0,令,记当时，依概率收敛到一个随机变量，记作，则称随机过程为的p阶变差过程.,0tXt111kknpttkXX特别,如果p=1称为全变差过程，如果p=2称为二阶变差过程.ttttn2101max()nkktt0n(),ptXX(),,0ptXXt,0tXt24()0,,ptpXX注对连续时间过程，如果,0,tXt则()(),,;,,0qqttqpXXqpXX定理4.2.1设是一维标准Brown运动，其二阶变差过程为,0tBt(2),(),().ttBBBBt111kknpPttkXXt即25120nnnnstttt其中()njjtstsn求证2()()1211nnjjnLnttjSBBts设是一维标准Brown运动，令,0tBt注此结论表明，当充分小时，在均方意义下有kt或写作：(习题4.14)26定理4.2.2n维Brown运动{Bt}关于由生成的代数Ft是鞅.tsBs;定理4.2.3设{Bt}为1-维标准Brown运动,则i){Bt2-t}是鞅.ii)对任意实数θ,是鞅.4.2.4Brown运动的鞅性质2exp2tBt(习题4.10)推论设{Bt}为1-维标准Brown运动，x0,则min0,ttBx1P