特殊平行四边形教学设计案例

§3．2特殊平行四边形（一）、设计指导思想“特殊平行四边形”主要研究的是矩形、菱形和正方形等的性质，判定以及相关结论的探索证明．在此，学生将进一步学习推理论证的方法，加深对图形的认识和理解，对证明意义的体会．（二）、教材分析在教学中，同样是；对于已探索过的命题的证明，应为学生的积极思考创造条件，鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思想印证明方法；而对于没有探索过的命题，要让学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，这样培养了学生的推理论证能力，达到了预期的目的．（三）、学情分析本学期是所有中考知识学习的重要阶段，学生没有象初一初二那么轻松，而是普遍感到紧张，中上的学生觉得课内的容易课外难，中上的学生感到疲于应付。（四）、教学目标(一)教学知识点1．能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论．2．能运用矩形的性质进行简单的证明与计算．(二)能力训练要求1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．2．能够用综合法证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论．3．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．4．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．(三)情感与价值观要求通过学习矩形的性质，让学生从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想，培养学生的辩证唯物主义观念．（五）、教法学法教、学法设计设计依据教法以探索导学法为主，启发引导式等多种教法相互穿插、综合运用。突出以教师为主导，以学生为主体，以探索导学为主线的教学思想，发挥学生的个性，注重合作学习，依据不同的教学内容及学生实际情况灵活运用多种教法及学法。学法探究答疑贯穿始终，自学与合作学习相配合，观察与动手操作兼容并重。（六）、媒体选择媒体设计设计意图自制课件贯穿教学始终，增强教学直观性和趣味性，适时突出重点，突破难点，适度加快教学进程，扩大教学容量。（七）、教学程序Ⅰ.巧设现实情境，引入新课[师]上两节课我们探讨了平行四边形的性质定理及判定定理．下面我们来共同回忆总结：[师生共析](学生总结，教师补充)(出示投影片§3．2．1A)已加一个四边形是平行四边形，则有：对边平行对边相等对角相等邻角互补对角线互相平分从两组对边分别平行边两组对边分别相等的四边边形是看一组对边平行且相等平行四边形从角看：两组对角分别相等从对角线看：对角线互相平分[师]了解了平行四边形后，你还了解哪些特殊的平行四边形?[生]特殊的平行四边形有矩形、菱形和正方形．[师]还记得它们与平行四边形的关系吗?能用一张图来表示它们之间的关系吗?[生]有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；而有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．由此看来，矩形、菱形、正方形都是平行四边形，它们都是有特殊性质的平行四边形．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且也是特殊的矩形、特殊的菱形．所以可用下图来表示它们之间的关系：(随学生的叙述，教师播放投影，使学生进一步了解它们的关系)[师]它们既然是平行四边形，就具有平行四边形的性质．又因为它们是特殊的平行四边形，所以它们又具有各自的独特性质．今天我们先来研究矩形的特殊性质．Ⅱ．讲授新课[师]前面我们已探讨过矩形的性质，还记得吗?[生]矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．[师]很好，那你能证明它们吗?[生]能．[师]好，大家先来独自证明，然后与同伴交流你的证明思路．[生甲]已知四边形ABCD是矩形．求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．证明：∵四边形ABCD是//四边形，∴∠A＝90°，四边形ABCD是．∴∠A=∠C，∠B＝∠D．∠A+∠D＝180°．∴∠B＝∠C：∠D＝∠A＝90°．[生乙]已知矩形ABCD，求证：AC＝DB．证明：在矩形ABCD中，∵∠ABC＝∠DCB＝90°，(矩形的四个角都是直角)AB＝DC，(平行四边形的对边相等)BC＝CB，∴△ABC≌DCB．∴AC=DB．[师]很好，我们证明矩形的第一个性质时，用到了矩形的定义及平行四边形的性质；证明第二个性质时，用到了矩形的第一个性质、平行四边形的性质及全等三角形．我们通过逻辑推理证得了矩形的这两个性质，把它们称为定理．即(出示投影片§3．2．1B)定理：矩形的四个角都是直角．∵矩形ABCD，∴∠A=∠B＝∠C=∠D＝90°．定理：矩形的对角线相等．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝DB．[师]接下来，我们来想一想，议一议．(出云投影片§3．2．1C)如图，设矩形的对角线AC与BD的交点为E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?它与AC有什么大小关系?为什么?[生]因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD也是平行四边形．因此，对角线AC与BD互相平分．即AE＝EC，BE＝DE．又因为四边形ABCD是矩形，所以AC＝BD，因此BE=21BD＝21AC．故BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线，它与AC的大小关系为BE＝21AC．[师]很好，那你能用一句话概括你所得到的结论吗?[生]直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．[师]这个结论是由矩形的性质得到的，因此我们可以把它称之为推论．那你能用推理的方法来证明它吗?[生]能．如图，已知BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线．求证：BE＝21AC．分析：要证明这个结论，可构造辅助图形——矩形，所以可以过点A作BC的平行线，也可以延长BE到D，使DE=BE，然后证明四边形ABCD是矩形．再利用“矩形的对角线相等且互相平分”即可证明结论．证明：过点A作BC的平行线与BE的延长线交于点D，连接CD．(如图)则∠DAE＝∠BCE．∵BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线，∴AE＝EC．又∵∠AED＝∠CEB，∴△AED≌△CEB．∴AD＝BC．∵AD//BC．∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．∴AC=BD，BE＝ED＝21BD．∴BE＝21AC．[师]我们通过推理进一步得证了这个结论是正确的．那么我们以后就可直接应用了．∵BE是Rt△ABC的AC上的中线，∴BE＝21AC．下面我们来通过一个例题进一步熟悉掌握矩形的性质(出示投影片§3．2．1D)[例题]如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2．5cm．求矩形对角线的长．分析：欲求对角线的长，由于∠BAD＝90°或∠ABC=90°，AB=4cm，则只要再找出Rt△ABD中一条直角边或一个锐角的度数，再从已知条件∠AOD＝120°出发，应用矩形的性质可知∠ADB＝30°，这样即可求出对角线的长．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，且OA=OC=21AC，OB＝OD=21BD，(矩形的对角线相等且互相平分)∴OA＝OD．∵∠AOD＝120°，∴∠OAD＝∠ODA＝2120180＝30°．∵∠DAB＝90°．(矩形的四个角都是直角)∴BD＝2AB＝2×2．5＝5(cm)．故这个矩形的对角线的长为5cm．[师]同学们来想一想，还有没有其他的方法来解这个题呢?[师]小明认为，这个题还可以这样想：(出示投影片§3．2．1E)∠AOD＝120°→∠AOB=60°→OA＝OB＝AB→AC＝20A＝2×2．5＝5(cm)．[师]你能帮小明写出完整的解题过程吗?[生]解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，且OA＝OC＝21AC，OB＝OD＝21BD．(矩形的对角线相等且互相平分)∴OA＝OB．∵∠AOD＝120°，∴AOB＝60°．∴OA=OB＝AB．∴AC＝2OA＝2×2．5＝5(cm)．[师]已知一个四边形是矩形，那么就会得到一些相应的性质，如果要判定一个四边形是矩形，那除了根据定义判定外，还有没有其他的方法呢?下面我们通过做练习来证明矩形的判定定理．Ⅲ．课堂练习(一)课本P84随堂练习11．证明：有三个角是直角的四边形是矩形．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B=∠C＝90°．求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵∠A＝∠B=90°，∴∠A+∠B=180°．∴AD//BC．同理可证：AB//CD．∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠A=90°，∴//四边形ABCD是矩形．Ⅳ．课时小结我们这节课主要研究了矩形的性质，现在来归纳：对边平行且相等1．矩形四个角都是直角对角线互相平分且相等2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．一个角是直角的平行四边形3．有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形Ⅴ．课后作业课本P85随堂练习1课本P86,习题3．42、3Ⅵ．活动与探究1．取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下；第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图(1)．第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′,得Rt△AB′E．如图(2)．第三步：沿EB′，线折叠得折痕EF．如图(3)．利用展开图(4)探究：(1)△AEF是什么三角形?证明你的结论．(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由．[过程]通过学生动手操作、观察、猜想，进而通过推理论证了猜想，来培养学生的创新能力和实践能力．[结果](1)△AEF是等边三角形．证明：∵△ABE与△AB′E完全重合．∴△ABE≌△AB′E，∠BAE＝∠1，由平行线等分线段定理得EB′＝B′F．又∠AB′E＝90°，∴△AB′E≌△AB′F．∴AE＝AF，∠1＝∠2=31∠BAD=30°．∴△AEF是等边三角形．(2)不一定．由以上推证可知：当矩形的长恰好等于等边△AEF的边AF时，即矩形的宽：长＝AB：AF＝sin60°=3：2时能正好折出．如果设矩形的长为a，宽为b，可知当b≤23a时。按此法一定能折出等边三角形；当a23ba时，按此法无法折出完整的等边三角形．板书设计§3．2．1特殊平行四边形(一)1．2．定理：矩形的四个角都是直角．定理：矩形的对角线相等．证明：3．议一议：推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．4．例题：5．课堂练习：有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形．6．课时小结7．课后作业