泛函分析考试题集与答案

1泛函分析复习题20121．在实数轴R上，令pyxyxd||),(，当p为何值时，R是度量空间，p为何值时，R是赋范空间。解：若R是度量空间，所以Rzyx,,，必须有：),(),(),(zydyxdzxd成立即pppzyyxzx||||||，取1,0,1zyx，有2112ppp，所以，1p若R是赋范空间，pxxxd||||||)0,(，所以Rkx,，必须有：||||||||||xkkx成立，即ppxkkx||||||，1p，当1p时，若R是度量空间，1p时，若R是赋范空间。2．若),(dX是度量空间，则)1,min(1dd，ddd12也是使X成为度量空间。解：由于),(dX是度量空间，所以Xzyx,,有：1）0),(yxd，因此0)1),,(min(),(1yxdyxd和0),(1),(),(2yxdyxdyxd且当yx时0),(yxd，于是0)1),,(min(),(1yxdyxd和0),(1),(),(2yxdyxdyxd以及若0)1),,(min(),(1yxdyxd或0),(1),(),(2yxdyxdyxd均有0),(yxd成立，于是yx成立2）),(),(yxdxyd，2因此),()1),,(min()1),,(min(),(11yxdyxdxydxyd和),(),(1),(),(1),(),(22yxdyxdyxdxydxydxyd3）),(),(),(zydyxdzxd，因此}1),,(),(min{)1),,(min(),(1zydyxdzxdzxd),(),()1),,(min()1),,(min(11zydyxdzydyxd以及设xxxf1)(，0)1(1)(2xxf，所以)(xf单增，所以),(),(1),(),(),(1),(),(2zydyxdzydyxdzxdzxdzxd),(),(1),(),(),(1),(zydyxdzydzydyxdyxd),(),(),(1),(),(1),(22zydyxdzydzydyxdyxd综上所述)1,min(1dd和ddd12均满足度量空间的三条件，故),(1yxd和),(2yxd均使X成为度量空间。3．设H是内积空间，Hyyxxnn,,,，则当xxn，yyn时，),(),(yxyxnn，即内积关于两变元连续。解：H是内积空间，设||||是由其内积导出的范数，由于xxn，yyn，所以0，0n使得当0nn时均有||||xxn和||||yyn同时由于yyn，故知ny有界，Hx所以||||x有限。因此可取3||)||||,(||sup1nnyxM因此|),(),(),(),(||),(),(|yxyxyxyxyxyxnnnnnn|),(||),(||),(),(||),(),(|yyxyxxyxyxyxyxnnnnnnnMyyMxxMyyxyxxnnnnn2||||||||||||||||||||||||故0)},(),(lim{yxyxnnn，即),(),(yxyxnn4．设YX,是线性赋范空间，YXT:是线性算子，则T不是连续的，当且仅当Xxn，使得0nx，但||||nTx解：设T不是连续的，则T在X上的每一点0x都不是连续的，因此在点00x也不是连续的。则T在包含X上0点的任何有界邻域内均无界，取XOS)21,0(1，则T在1S上无界，因此11Sx，使得1||||1Tx成立。取XOS)21,0(22，则T在2S上无界，因此22Sx，使得2||||2Tx成立。类似地过程一直进行，直到取XOSnn)21,0(，则T在nS上无界，因此nnSx，使得nTxn||||成立。因此，Xxn，使得0nx，但||||nTx另外，如果有Xxn，当0nx，有||||nTx由于在Y上不能找到一点Yy，使得||||Ty，因此对所有的点Yy，均无法使得||||Ty成立，4因此，在条件0nx下，对于所有的点Yy，TyTxn||||均不成立。所以T在X上的0点不是连续的，故T不是连续的。5．对于每个有界序列)(n，定义线性算子ppllT:，),,(|),,(221121xxxx求?||||T解：由于)(n有界，所以有0M，使得||supnnM对于plxxx),,(21，1||||||ipippxx，从而pnipix1||pppipipipiippxMxMxTx||||||||||||11||||||||xMTx，从而MT||||另外，有)(n有界序列，设||supnnM，则对0，有0n，使得0||0Mn可取pnnnlsngax),,,0,0(0)(，所以1||||)(nxpnipiippnxTx||||||||01)(，因此MTxnpn||||||0)(MT||||，由于的任意性，于是有MT||||成立综上所述有||sup||||nnMT6．我们知道有命题：对于算子序列nT，若0||||TTn，则Xx，0||||TxxTn。此命题的逆命题5不成立。试考虑算子序列22:llTn，),0,,,,(),,,,,(21121nnnnxxxxxxxT。解：2)(lxxn，2112)||(||||nnxx，所以0)||(2120nnnx（0n）取xTx，),,,0,,0,0(21nnnxxxTTx，我们有0)||(||||2112nkknxTxxT（n）另外，对每个固定的n，我们都可以找到一个元素211),0,1,0,,0,0(lenn，有1||||1ne，但111nnnneeTTe，1||||||||111nnnneeTTe因此1||||TTn，n，故0||||TTn不成立。7．设YX,是线性赋范空间，YXT:是线性算子，则)(TG闭，当且仅当Xxn，使得0nx，yTxynn时，有0y。解：)(TG闭，即有Xxn，0nx，则YTy00，使得0yTxynn另外，当Xxn，0nx，使得0nnTxy因此对于Xxn，Xxxn，取Xxxznn，有0xxznn，6于是有0)(TxTxxxTTznnn，即TxTxn，所以)(TG闭8．证明1*0lc，其中*0cf时有序列1)(ln使得nnnxxf1)(，0)(cxxn解：0c是所有极限为0的序列全体的集合，范数||sup||||iixx，在0c中取基元集},2,1),,0,1,0,,0,0(|{neeFnnn则对021),,,,(cxxxxn，有iniinexx1lim设*0cf，记,2,1),(iefii，所以有iiiiniininiininiininiinxxefxexfexfxf11111lim)(lim)(lim)lim()(取),0,,,,(21)(niiineeex，其中iiarg，则0)(cxn且1||||)(nx，niiiniiniexf11)(||)(，所以|||||||||||||)(|||)()(1fxfxfnnnii令n，即得121),,,,(ln，7且||||||||||1fii再证反向不等式。对021),,,,(cxxxxn，对每个121),,,,(ln定义iiixxf1)(，则f是0c上的线性泛函，且有||||||||||||sup|||)(|11xxxxfiiiiiii所以*0cf，且||||||||f。综合两个不等式得||||||||f映射),,,,()),(,),(),((,:21211*0nnefefefflcT使得021),,,,(cxxxxn，有iiixxf1)(成立则T线性保距同构映射，因此1*0lc9．设H是Hilbert空间，nx是H中正交集，则以下三条等价；1）1nnx收敛，2）Hy，),(1yxnn收敛，3）21||||nnx收敛解：)2)1，已知1nnx收敛，取mnnmxs1，则ms收敛，||||ms收敛于有限数。则，Hy，|||||||||),(||),(||),(|11ysysyxyxmmmnnmnn所以),(1yxnn收敛。8)3)2，已知Hy，),(1yxnn收敛，即Hy，标量列),(1yxmnnm收敛，取mnnxy1，此时mnnnmnnmiimnnmxxxxx12111||||),(),(由标量列m收敛，从而21||||nnx收敛。)1)3若21||||nnx收敛，则标量列21||||mnnmx收敛设mnnmxs1，则mmnnmnnmnnmnnmnnmnnmxxxxxxs211111212||||),(),(||||||||由标量列m收敛，得ms收敛，即1nnx收敛。10．设1||，考虑]1,0[C上的积分方程)()(sin)(10sydttxsx其中]1,0[Cy，证明此方程存在唯一连续解。解：由于]1,0[C是完备的，映射]1,0[]1,0[:CCT，)()(sin)(10sydttxsTx，所以102110210121)](sin)([sin)(sin)(sin)()(dttxtxdttxdttxsTxsTx1021102121|)(sin)(sin||||)](sin)([sin|||||dttxtxdttxtxTxTx9|||||||)()(|||211021xxdttxtx因为1||，所以映射]1,0[]1,0[:CCT是压缩映射由不动点原理，]1,0[Cy，存在唯一的一个]1,0[*Cx，使得)()(sin)(10**sydttxsx11．考虑],[baC上的非线性积分方程)())(,,()(sdttxstKsxba其中],[baC，))(,,(sstK是Rbaba],[],[的连续函数，满足|||||))(,,())(,,(|2121ksstKsstK证明当||足够小时，此方程存在唯一解],[0baCx。解：由于],[baC是完备的，映射],[],[:baCbaCT，)())(,,()(sdttxstKsTxba所以babadttxstKdttxstKsTxsTx))(,,())(,,()()(2121||)(||))](,,())(,,([|||||212121xxabkdttxstKtxstKTxTxba所以，当1)(||abk时，映射],[],[:baCbaCT是压缩映射由不动点原理，],[baC，存在唯一的一个],[*baCx，使得)())(,,()(**sdttxstKsxba12．验证：（1）开球}),(;{),(00rxxdXxrxO是开集；（2）闭球}