两直线的位置关系及距离公式

考纲要求考情分析1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.1.从考查内容看，本考点侧重于对两直线位置关系、距离公式及对称问题的考查，且常与圆、圆锥曲线交汇在一起命题．2.从考查形式看，若单独考查，则以选择题、填空题的形式出现，难度不大；若与圆、圆锥曲线结合，则出现在解答题中，具有一定的综合性.一、两条直线的位置关系及判定平面内两条直线的位置关系有平行、相交、重合三种情况．1．利用斜率判定已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.(1)l1∥l2⇔k1＝k2且；(2)l1⊥l2⇔；b1≠b2k1k2＝－1(3)l1与l2重合⇔k1＝k2且.若直线l1、l2的斜率都不存在，则l1、l2平行或重合；若直线l1、l2中一条没有斜率，另一条斜率为0，则.b1＝b2l1⊥l22．利用直线方程的系数判定已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1)l1∥l2⇔且A2C1≠A1C2(或B2C1≠B1C2)．(2)l1⊥l2⇔；(3)l1与l2重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)．A1B2＝A2B1A1A2＋B1B2＝0二、两条直线的交点坐标已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则两直线的就是方程组的解．(1)若方程组有惟一解，则两条直线，此解就是．(2)若方程组无解，则两条直线．(3)若方程组有无数个解，则两直线．交点坐标相交交点坐标平行重合三、距离两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝x1－x22＋y1－y22|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C1－C2|A2＋B2点到直线的距离公式与两条平行线间的距离公式对直线方程有什么要求？提示：点到直线的距离公式中要求直线方程为一般式；两平行线间的距离公式中要求方程为一般式，且x，y项的系数相同．四、对称问题1．中心对称解题方法：利用中点坐标公式．特别地，两点关于原点对称时，解题的方法是以代替x，以代替y.－x－y2．轴对称解题方法：利用两对称点的连线与对称轴垂直以及两对称点的中点在对称轴上列方程组，求出两对称点坐标间的关系后解题．1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1B.3C．2D.5答案：D解析：d＝|－5|12＋22＝5.2．若直线l：y＝kx－1与直线x＋y－1＝0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，－1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)答案：C解析：由题意知k≠0，由y＝kx－1y＝－x＋1得x＝2k＋1，y＝k－1k＋1.因为交点在第一象限，故2k＋1＞0k－1k＋1＞0，解得k＞1.3．过点(1,0)且与直线x－2y＋2＝0平行的直线方程是()A．x－2y＋1＝0B．x－2y－1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0解析：设所求方程为x－2y＋c＝0，由过点(1,0)，知1－2×0＋c＝0，所以c＝－1，故所求直线方程为x－2y－1＝0.答案：B4．已知直线(a－4)x＋y＋1＝0与直线2x＋3y－5＝0垂直，则a＝________.解析：两直线的斜率分别为4－a和－23，由两直线垂直的充要条件知(4－a)·－23＝－1，解得a＝52.答案：525．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程为________________．解析：设(x，y)为所求直线上任一点，它关于点(1，－1)的对称点为(2－x，－2－y)，由题意知2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0，化简得2x＋3y＋8＝0.即为所求直线方程．答案：2x＋3y＋8＝0【考向探寻】1．求两条直线的交点．2．两条直线平行、垂直的判定及应用．【典例剖析】(1)已知两条直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋p＝0，则“an＝bm”是“直线l1∥l2”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(理)曲线y＝ax2－ax＋1(a≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则a等于A.12B．－12C.13D．－13(2)(文)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.(3)直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________．题号分析(1)根据直线平行的充要条件判断．(2)利用两直线垂直的充要条件求解．(3)先求出直线2x－3y＋4＝0与y轴的交点，再求C.解析：(1)由两直线平行的充要条件知l1∥l2⇔an＝bm且ap≠cm或an＝bm且bp≠cn.故由l1∥l2可得an＝bm，反之不一定成立．答案：B答案：B(2)(理)由题意知y′＝2ax－a，故曲线在(0,1)处的切线斜率为y′|x＝0＝－a，而直线2x＋y＋1＝0的斜率为－2，由条件得－2×(－a)＝2a＝－1，解得a＝－12.答案：1(文)当m＝0时两直线不垂直，故m≠0，可得两直线斜率分别为12，－2m.由12·－2m＝－1得m＝1.答案：－4(3)在2x－3y＋4＝0中，令x＝0得y＝43，故该直线与y轴交点为0，43.由条件知A·0＋3×43＋C＝0.所以C＝－4.(1)判断两直线位置关系时可通过斜率来解决，但当斜率存在与否不能确定时，需要分类讨论．另外也可根据所给的一般式方程，利用系数间的关系判定．(2)判定两条直线相交的方法①代数法．解两条直线方程组成的方程组，利用解的个数来判断．②几何法．a．利用斜率：若k1≠k2则l1与l2相交．b．利用系数比：若A1A2≠B1B2则l1与l2相交．【活学活用】1．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m、n的值，使(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.解：(1)∵m2－8＋n＝0，且2m－m－1＝0，∴m＝1，n＝7.(2)当m＝0时，显然l1不平行于l2.当m≠0时，由m2＝8m≠n－1得m·m－8×2＝0，8×－1－n·m≠0，∴m＝±4，n≠∓2.即m＝4，n≠－2时，或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.(3)当且仅当m·2＋8·m＝0，即m＝0时，l1⊥l2.又－n8＝－1，∴n＝8.即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.【考向探寻】1．求两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离．2．解决与距离有关的综合问题．【典例剖析】(1)已知直线l1：2x－y＋4＝0与直线l2平行，且l2与抛物线y＝x2相切，则直线l1、l2间的距离等于________．(2)(12分)已知点P(2，－1)．①求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；②求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？③是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．(1)设切点坐标为(x0，x20)，因y′＝2x，则由导数几何意义知2x0＝2，所以x0＝1，故切点为(1,1)．所以直线l2方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.故l1，l2间的距离为|4－－1|22＋－12＝5.答案：5(2)①过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，因此过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件．此时l的斜率不存在，故其方程为x＝2.…………2分当直线斜率存在时，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.………………………………4分由已知得|－2k－1|k2＋1＝2，解得k＝34.此时l的方程为3x－4y－10＝0.…………………6分综上，直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.②作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线.…………8分由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－1kOP＝2.故所求直线方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.所以直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，且最大距离为|－5|5＝5.…………………………10分③由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.……12分(1)求点到直线的距离，应先把直线方程化为一般式然后根据公式求解．(2)求两条平行线间的距离有两种思路：①利用“化归”法将两条平行线的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．②直接利用两条平行线间的距离公式d＝|C1－C2|A2＋B2.利用两平行线间距离公式时，必须将直线的一般式方程中x，y的系数化为相同后才能套用公式计算．【活学活用】2．(1)P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为2，则P点坐标为()A．(1,2)B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)解析：设P(x,5－3x)，则d＝|x－5＋3x－1|12＋－12＝2，∴|4x－6|＝2，∴x＝1或x＝2，∴所求点的坐标为P(1,2)或(2，－1)．答案：C(2)已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.解：设点P的坐标为(a，b)．∵A(4，－3)，B(2，－1)，∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．而AB的斜率kAB＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.∵点P(a，b)在上述直线上，∴a－b－5＝0.①又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，∴|4a＋3b－2|5＝2，即4a＋3b－2＝±10.②由①②得a＝1，b＝－4，或a＝277，b＝－87.∴所求点P的坐标为(1，－4)或277，－87.【考向探寻】1．解关于“中心对称、轴对称”的问题．2．利用对称解决有关最值问题、光线反射问题．【典例剖析】(1)一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为A．2x＋y－6＝0B．x－2y＋7＝0C．x－y＋3＝0D．x＋2y－9＝0(2)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求：①点A关于直线l的对称点A′的坐标；②直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．(1)利用入射光线上的点关于直线x＋y－5＝0的对称点在反射光线上解题．(2)①直线l为线段AA′的垂直平分线，利用垂直关系，中点坐标公式解方程组求出A′点坐标；②转化为点关于直线的对称．解：(1)取直线2x－y＋2＝0上一点A(0,2)，设点A(0,2)关于直线x＋y－5＝0对称的点为B(a，b)，则a2＋b＋22－5＝0b－2a＝1，解得a＝3b＝5，∴B(3,5)，由2x－y＋2＝0x＋y－5＝0，解得x＝1y＝4，∴直线2x－y＋2＝0与直线x＋y－5＝0的交点为P(1,4)，∴反射光线在经过点B(3,5)和点P(1,4)的直线上，其直线方程为y－4＝4－51－3(x－1)，整理得x－2y＋7＝0.(2)①设A′(x，y)，再由已知y＋2x＋1·23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0.解得x＝－3313，y＝413，∴所求对称点的坐标为A′－3313，413.②设(x，y)为直线m′上任一点，它关于直线l：2x－3y＋1＝0的对称点为(x0，y0)，则点(x0，y0)在直线m上，则y－y0x－x0·23＝－12·x＋x02－3·y＋y02＋1＝0，解得