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原题原题图片物理背景描述对于上图所示的磁悬浮系统，如果钢球在参考位置附近有很小的位移时，影像探测器上的电压e（伏特）由球的位移x（米）决定，即e=100x。作用在钢球上向上的力f（牛顿）由电流i（安培）以及位移共同决定，其近似关系为f=0.5i+20x功率放大器为压流转换装置，其输入输出关系为i=u+V0。钢球质量m=20（克），地球表面的重力加速度为g=9.8（牛顿/千克）。其中V0为恒定偏置电压，以保持钢球处于平衡状态时的位移x=0。问题的描述以电压u为控制信号，位移x为输出信号，建立系统的传递函数；以影像探测器输出电压e为反馈信号，并给定参考位移（输入）信号r，构成闭环负反馈系统。试设计适当的控制器，使得闭环系统满足下列性能指标：跟踪阶跃信号的稳态误差为零，跟踪单位斜坡信号的稳态误差小于0.01；单位阶跃响应的超调量不大于30%，过渡过程时间不大于1秒（∆=2%）。1求控制器的传递函数。问题推导1．当𝐱=𝟎，𝐫=𝟎时：𝐞=𝟎，𝐮=𝟎;𝐢=𝐕𝟎;𝐟=𝟎.𝟓𝐕𝟎;𝟎.𝟓𝐕𝟎−𝐦𝐠=𝐦𝐝𝟐𝒙𝐝𝒕𝟐=𝟎；𝐦𝐠=𝟎.𝟓𝐕𝟎2．系统闭环传递函数：𝐮=𝐫−𝐞；𝐢=𝐫−𝐞+𝐕𝟎=𝐫+𝐕𝟎−𝟏𝟎𝟎𝐱;𝐟=𝟎.𝟓𝐫+𝟎.𝟓𝐕𝟎−𝟓𝟎𝐱+𝟐𝟎𝐱=𝟎.𝟓𝐫+𝟎.𝟓𝐕𝟎−𝟑𝟎𝐱;𝐅=𝐟−𝐦𝐠=𝟎.𝟓𝐫+𝟎.𝟓𝐕𝟎−𝟑𝟎𝐱−𝐦𝐠=𝐦𝐝𝟐𝒙𝐝𝒕𝟐;𝐦𝐝𝟐𝒙𝐝𝒕𝟐+𝟑𝟎𝐱=𝟎.𝟓𝐫+𝟎.𝟓𝐕𝟎−𝐦𝐠;（𝐦𝐠=𝟎.𝟓𝐫）𝐦𝐝𝟐𝒙𝐝𝒕𝟐+𝟑𝟎𝐱=𝟎.𝟓𝐫;取拉氏变换𝐆(𝐬)=𝒙(𝒔)𝒓(𝐬)=𝟎.𝟓𝒎𝒔𝟐+𝟑𝟎;（𝐦=𝟎.𝟎𝟐𝐤𝐠）𝐆(𝐬)=𝟐𝟓𝒔𝟐+𝟏𝟓𝟎𝟎3．系统开环传递函数前向通道传递函数：𝐅=𝐟−𝐦𝐠=𝐦𝐝𝟐𝒙𝐝𝒕𝟐;𝟐𝟎𝐱+𝟎.𝟓𝐢−𝐦𝐠=𝐦𝐝𝟐𝒙𝐝𝒕𝟐;𝟐𝟎𝐱+𝟎.𝟓𝐮+𝟎.𝟓𝐕𝟎−𝐦𝐠=𝐦𝐝𝟐𝒙𝐝𝒕𝟐;（𝐦𝐠=𝟎.𝟓𝐫）𝐦𝐝𝟐𝒙𝐝𝒕𝟐−𝟐𝟎𝐱=𝟎.𝟓𝐫;取拉氏变换𝐆(𝐬)=𝒙(𝒔)𝒓(𝐬)=𝟎.𝟓𝒎𝒔𝟐−𝟐𝟎;（𝐦=𝟎.𝟎𝟐𝐤𝐠）𝐆(𝐬)=𝟐𝟓𝒔𝟐−𝟏𝟎𝟎𝟎开环传递函数：2𝐆(𝐬)=𝒆∗𝟐𝟓𝒔𝟐−𝟏𝟎𝟎𝟎=𝟐𝟓𝟎𝟎𝒔𝟐−𝟏𝟎𝟎𝟎问题求解原问题分析为满足跟踪阶跃信号的稳态误差为零，则应加一积分环节。则开环发大传递函数应为：𝐆(𝐬)=𝟐𝟓𝒌𝒔𝟑−𝟏𝟎𝟎𝟎𝒔其根轨迹如下图所示：此开环传递函数有三个极点：p1=31.6228，p2=0，p3=-31.6228。从P1点出发的根轨迹，严重影响到系统的稳定性。无论系统有三条还是三条以上根轨迹，总有一条根轨迹全部落在右半平面，系统总是不稳定的；尽管用一个零点与p1构成一对偶极子也很难消除其对系统的影响。可以先看一下1*𝐞𝟑𝟏.𝟔𝟐𝟐𝟖𝐭曲线。1*𝐞𝟑𝟏.𝟔𝟐𝟐𝟖𝐭的增长曲线如下：31*e31.6228t的增长斜率太大，很难进行调节。确定控制环节的放大倍数k因此设想对𝐆(𝐬)=𝟐𝟓𝒔𝟐−𝟏𝟎𝟎𝟎加局部反馈校正以改变极点位置。若反馈环节的传递函数为：as+b则：𝐆(𝐬)=𝟐𝟓𝒔𝟐+𝟐𝟓𝐚𝐬+𝟐𝟓𝐛−𝟏𝟎𝟎𝟎;可以写成：𝐆(𝐬)=𝟐𝟓𝐤𝒔(𝒔𝟐+(𝒑𝟏+𝒑𝟐)𝒔+𝒑𝟏𝒑𝟐);闭环传递函数为：𝐆(𝐬)=𝟐𝟓𝐤𝒔(𝒔𝟐+(𝒑𝟏+𝒑𝟐)𝒔+𝒑𝟏𝒑𝟐)+𝟐𝟓𝐤𝐡偏差传递函数为：𝐄(𝐬)=𝒔(𝒔𝟐+(𝒑𝟏+𝒑𝟐)𝒔+𝒑𝟏𝒑𝟐)𝒔(𝒔𝟐+(𝒑𝟏+𝒑𝟐)𝒔+𝒑𝟏𝒑𝟐)+𝟐𝟓𝐤𝐡;4𝐞𝐬𝐬=𝐥𝐢𝐦𝒔→𝟎𝒔∗𝑬(𝒔)∗𝑹(𝒔);𝐞𝐬𝐬=𝟏𝟏𝟎𝟎𝐥𝐢𝐦𝒔→𝟎𝒔𝟐(𝒔𝟐+(𝒑𝟏+𝒑𝟐)𝒔+𝒑𝟏𝒑𝟐)𝒔(𝒔𝟐+(𝒑𝟏+𝒑𝟐)𝒔+𝒑𝟏𝒑𝟐)+𝟐𝟓𝐤𝐡∗𝟏𝒔𝟐;𝐞𝐬𝐬=𝒑𝟏𝒑𝟐𝟐𝟓𝟎𝟎𝒌𝒉=𝟏𝟏𝟎𝟎;𝟐𝟓𝐤𝐡=𝐩𝟏𝐩𝟐;𝐤𝐡=𝟏𝟐𝟓𝐩𝟏𝐩𝟐=𝐛−𝟒𝟎确定反馈环节参数a、b单位阶跃响应的超调量不大于30%，过渡过程时间不大于1秒（∆=2%）。𝛚𝐧𝛏𝟒;𝛇𝟎.𝟑𝟔;（以二阶系统公式做计算）γ≥𝟒𝟖°;𝛚𝐜≥𝟖.𝟗;（以高阶系统经验公式计算）取：−𝛚𝐧𝛏=−𝟔；𝛏=𝟎.𝟓；考虑到根轨迹渐近线为60°、180°、-60°。应把更小的一个根放到足够小的位置，5以避免其根轨迹上的根影响主导极点，同时考虑幅角条件。幅角条件：180°−∠A+∠(A−p1)+∠(A−p2)=(2l+1)∗180°;选：p1=-18;则：P2=-51。25a=18+51=69；25b−1000=18∗51=918；则：Kh=918*4；k=9.18*4；a=2.76；b=76.72。设计控制校正环节开环传递函数为：𝐆(𝐬)=𝟐𝟓∗𝟒∗𝟗𝟏𝟖𝐬（𝒔𝟐+𝟔𝟗𝐬+𝟗𝟏𝟖）;其波特图为：6考虑可以加一个串联迟后校正：1．∠G(jω)=−180°+γ+2°=130°;取对应的角频率ωc=10。2．由bode图得20lgG(s)=20db，但真实值应比之稍小，取β=8.4。3．取τ=3；T=25。开环传递函数为：𝐆(𝐬)=𝟐𝟓∗𝟒∗𝟗𝟏𝟖(𝟑𝒔+𝟏)𝐬（𝒔𝟐+𝟔𝟗𝐬+𝟗𝟏𝟖）（𝟐𝟓𝐬+𝟏）加入这样一个校正环节不改变二阶系统稳态误差。单位阶跃响应前向通道为：𝐆(𝐬)=𝟗𝟏𝟖(𝟑𝒔+𝟏)𝐬（𝒔𝟐+𝟔𝟗𝐬+𝟗𝟏𝟖）（𝟐𝟓𝐬+𝟏）反馈通道为：h=100传递函数方框图如下：仿真如下：7其它设计以几乎相似的方式可得以下校正：前向通道为：𝐆(𝐬)=𝟐𝟓∗𝟎.𝟔∗（𝟏𝟎𝟎𝐬+𝟏）s（𝒔𝟐+𝟐𝟓𝟎𝟎𝐬+𝟏𝟓𝟎𝟎）反馈通道为：h=100传递函数方框图如下：仿真如下：8曲线近乎完美！心得总结回想我所设计的控制与校正，我觉得设计的关键是：认真的分析系统，了解控制与校正的主要结点。如作业中p1=31.6228，就是个很大的问题。认识了问题，就可以相应的去找解决的方法，不论是从已知的还是重新学习新的，带有目的的学习总是很快而且很有效的。我觉得虽然可以使用很发达的辅助软件，但是假若你没有对理论概念的理解，没有处理问题的基本能力，那也只是一堆摆设。我觉得用根轨迹对系统分析，更加的准确而干净利落，加上软件的支持，简直就是一把利剑；用bode图做校正更加的简单。对我做的两个校正，我觉得：其它设计下的那个控制好得多，不但其阶跃响应曲线几乎接近于完美，而且系统对所涉及控制和校正的参数并不敏感，其控制和校正环节也相对容易在电路上实现。而第一个设计系统对所涉及参数相对敏感，系统的抗干扰、系统器件参数漂移、数学模型的不准确的能力均不如其它设计下的那个控制。我觉得这种大作业，比做习题和看书有意思得多。特别是在开阔人的思维界限和独立思考方面，那是真有意思。似乎觉得假若所有的学习内容都是以这种方式来完成就更ok了，反正我觉得对我来说是这样的。我似乎觉得，这大作业不但能把所学的理论知识与实践相结合起来，提高自己的实际动手能力和独立思考的能力。每当我一想到：嗯，我也做出了一个像模像样的报告的时候，心里总是涌出一种由衷的毫不做作的甜蜜，尽管我不知道其质量怎样，心里一阵自恋呀！做作业的时候花了很多时间和精力，看着结果就在眼前的时候这又算什么呢，有的只是一种微笑。9s+110025𝑠2−10000.6𝑠100s+1r(s)u(s)x(s)