点、线、面的三面投影

3投影原理点、线、面的三面投影从几何观点看，物体是由基本的几何元素点、线、面，依据一定的几何关系组合而成的。为提高对物体视图的分析和表达能力，我们从构成物体表面的最基本要素点、直线、平面来研究。01点的投影1011）点在三面投影体系中的投影空间点A放置在三面投影体系中，过点A作垂直于H面、V面、W面的投影线，与3个投影面的交点为A的3个投影。在水平投影面（H面）上的投影用相应的小写字母标注（a）；在正投影面（V面）上的投影用相应的小写字母加一撇标记（a′）；在侧立面投影面（W面）上的投影用相应的小写字母加两撇标记（a′′）。将三投影面展开，可得点A的三视图。0101水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴（长对正）；正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（高平齐）；水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离（宽相等）。01点的投影结论：（1）点的投影的连线垂直于相应的投影轴。（2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应的投影面的距离。（3）点的一个投影由两个坐标决定，点的两个投影包含3个坐标，点的两个投影可确定点的空间关系。012）点的相对位置引入直角坐标系的概念，把3个投影面视为3个坐标面，3个投影轴Ox,Oy,Oz即为3个坐标轴。点A的空间位置可用直角坐标表示为A（x，y，z），其中x表示A点到W面的距离，反映点的左右位置；y表示A点到V面的距离，反映点的前后位置；z表示A点到H面的距离，反映点的上下位置。012）点的相对位置当物体与投影面的相对位置确定之后，就有上下、左右和前后6个确定的方向。正视图反映物体的左右、上下关系；俯视图反映物体的左右、前后关系；左视图反映物体的上下、前后关系。01空间两点的相对位置，是以其中一个点为基准，来判断另一个点在该点的前或后、左或右、上或下。空间两点的相对位置用坐标来表示：X坐标大者在左，小者在右；Y坐标大者在前，小者在后；Z坐标大者在上，小者在下。01图中：XAXB，点A在点B的左方；YAYB，点A在点B的前方；ZAZB，点A在点B的上方。所以：点A在点B的左、前、上方。01当两个点处于某一投影面的同一条投射线上，则两个点在这个投影面上的投影便互相重合。必有一点遮住另一点，一个可见，一个不可见，离观察者近的，离投影面远的可见，相反则不可见。在投影面的重影点H面的重影点直观图投影图V面的重影点直观图投影图W面的重影点直观图投影图正面投影——前遮后水平投影——上遮下侧面投影——左遮右为了区别重影点的可见性，将不可见点的投影用字母加括号表示。01线的投影2021）各种位置的直线及投影特性由于直线的投影一般情况下仍为直线，且两点决定一直线，故要获得直线的投影，只需作出已知直线上的两个点的投影，再将它们相连即可。按直线与三个投影面之间的相对位置，将直线分为三类：投影面平行线、投影面垂直线、一般位置直线。前两类统称为特殊位置直线。02直线与投影面垂直直线与投影面平行直线与投影面倾斜02（1）投影面平行线定义：平行于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的直线。分类：水平线正平线侧平线02水平线——平行于H面，同时倾斜于V、W面的直线。水平投影反映实长及倾角，正面投影及侧面投影垂直于OZ轴。02正平线——平行于V面，同时倾斜于H、W面的直线。正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投影垂直于OY轴02侧平线——平行于W面，同时倾斜于H、V面的直线。侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于OX轴02投影面平行线的投影特性可概括如下：①直线在它所平行的投影面上的投影反映实长，且倾斜于投影轴，该投影与相应投影轴之间的夹角，反映直线与另两个投影面的倾角。②该直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且小于实长。事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影垂直于同一投影轴，而另一投影处于倾斜状态，则该直线必平行于倾斜投影所在的投影面，且反映与其他两投影面夹角的实形。02（2）投影面垂直线定义：垂直于一个投影面。分类：铅垂线正垂线侧垂线02铅垂线——垂直于H面，同时平行于V、W面的直线。特性：1.ab积聚为一点;2.a'b'∥a″b″∥OZ;3.a'b'=a″b″=AB02正垂线——垂直于V面，同时平行于H、W面的直线。特性：1.a'b'积聚为一点2.ab∥OYH,a″b″∥OYW3.ab=a″b″=AB02侧垂线——垂直于W面，同时平行于H、V面的直线。特性：1.a″b″积聚为一点2.ab∥a'b'∥OX3.ab=a'b'=AB02投影面垂直线的投影特性可概括如下：①直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；②直线的另外两个投影垂直于相应的投影轴，且反映实长。事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影平行于同一投影轴，则另一投影必积聚为一点；只要空间直线的三面投影中有一面投影积聚为一点，则该直线必垂直于积聚投影所在的投影面。02（3）一般位置直线定义：对三个投影面都倾斜（既不平行又不垂直）的直线。02一般位置直线的投影特性：①一般线在三个投影面上的投影都倾斜于投影轴,其投影与相应投影轴的夹角不能反映真实的倾角。②三个投影的长度都小于实长。事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈倾斜状态，则该直线一定是一条一般位置直线。022）直线上点的投影特性（1）从属性点在直线上，点的投影在直线的同面投影上。（2）定比性点分线段之比等于点的投影分线段的投影之比。02例题：023）空间两直线的相对位置空间两直线的相对位置同面直线异面直线平行相交交叉021.平行022.相交023.交叉02（1）判断两直线是否平行①如果两直线都不平行于投影轴，则有两个投影面投影平行则可以认为直线平行；②如果两直线都平行于某投影轴，则必须根据第三投影或比例关系判断。（2）判断两直线是否相交①投影上交点连线垂直于投影轴；②相交直线可能成为某一投影面的重影线；③既不符合平行两直线的投影特性，又不符合相交两直线的投影特性，即为交叉直线。02（3）直角投影定理两直线在空间上垂直（垂直相交或垂直交叉），当其中一条直线平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影垂直。利用直角投影原理，可完成过点作投影面平行的垂线，或与其相关的求点到直线距离，求直角三角形、等腰三角形等平面图形投影的作图问题。02024）曲线投影（1）曲线的形成和分类曲线可看作是一个点在运动过程中连续改变其运动方向所形成的轨迹，也可看作是两曲线相交或平面与曲面相交所形成的交线，还可以是一条线运动过程中的包络线。同一曲线可以由几种不同的方法形成。024）曲线投影按点的运动有无规律，曲线可分为规则曲线和不规则曲线。通常研究的是规则曲线。按曲线上各点的相对位置，曲线可分为：平面曲线——曲线上所有的点都在同一平面上。空间曲线——曲线上任意连续4个点不在同一平面上。02（2）曲线的投影及其投影特征曲线至少需要两个投影才能确定出它在空间的形状和位置。按照曲线形成的方法，依次求出曲线上以系列点的各面投影，然后把各点的同面投影顺次光滑连接即得该曲线的投影。02由此可以看出曲线的投影特性：①曲线的投影一般仍为曲线，只有当平面曲线所在平面平行于投影线时，投影为直线；②属于曲线的点，其投影属于曲线的投影，即点与曲线的从属关系为曲线投影的不变性；③代数曲线的投影，其次数不变。02（3）常见曲线的投影①圆的投影根据圆所在平面相对于投影面的位置不同，其正投影由3种情况：·当圆所在平面为投影面平行面时，圆在所平行的投影面上的投影反映该圆的实形。在另一投影面上的投影为直线，线段的长度等于圆的直径。02（3）常见曲线的投影·当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂直的投影面的投影为直线，线段的长度等于其直径。在另一投影面上的投影则为椭圆。·当圆所在平面为一般位置平面时，圆的两个投影均为椭圆。02②圆柱螺旋线的投影一动点在正圆柱表面上绕其轴线作等速回转运动，同时沿圆柱的轴线方向作等速直线运动，则动点在圆柱表面上的轨迹称为圆柱螺旋线。常见实例为螺旋楼梯、弧形楼梯01面的投影3031）几何元素表示平面平面的空间位置，可用下列任何一组几何元素来表示。不在同一直线上的三点一直线和该直线外一点相交两直线平行两直线平面图形03032）各种位置的平面及投影特性03（1）投影面平行面对一个投影面平行，同时垂直于其它两个投影面的平面。水平面——平行于H面，同时垂直于V、W的平面1、水平投影p反映实形；2、正面投影p′和侧面投影p〞积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。03正平面——平行于V面，同时垂直于H、W的平面1、正面投影q′反映实形；2、水平投影q和侧面投影q〞积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。03侧平面——平行于W面，同时垂直于H、V的平面1、侧面投影r〞反映实形；2、水平投影r和正面投影r′积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。03投影面平行面的投影特性可概括如下：（1）平面在它所平行的投影面上的投影反映实形；（2）平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线，且分别平行于相应的投影轴。事实上，在平面的两面投影中，若有一面投影积聚为平行于某投影轴的直线，则此平面必为该投影轴相邻的投影面的平行面。03（2）投影面垂直面垂直于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的平面。铅垂面——垂直于H面，同时倾斜于V、W的平面1、水平投影积聚为一直线，并反映对V、W面的倾角β、γ的实形；2、正面投影p′和侧面投影p″均不反映实形且变小。03正垂面——垂直于V面，同时倾斜于H、W的平面1.正面投影q'积聚为一直线,并反映对H、W面的倾角α、γ2.水平投影q和侧面投影q″是Q相类似的图形,且面积缩小03侧垂面——垂直于W面，同时倾斜于H、V的平面1.侧面投影r″积聚为一直线,并反映对H、V面的倾角α、β2.水平投影r和正面投影r'是R相类似的图形,且面积缩小03投影面垂直面的投影特性可概括如下：①平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一条斜线，该斜线与投影轴的夹角反映该平面与相应投影面的夹角；②平面在另外两个投影面上的投影不反映实形，且变小。事实上，在平面的投影中，若某一投影面上的投影积聚为一条斜线，则该平面必为该投影面的垂直面。03（3）一般位置平面三个投影面都倾斜的平面。三个投影均为类似形，不反映实形和倾角，也不积聚。033）平面内的点和直线直线在平面上的条件①通过平面内两点；②或通过平面内一点，且平行于平面内一直线。点在平面上的条件①点在平面内的某一直线上故要在平面内取点，必须先在平面内取直线。平面内取点xb′a′cbaza″c″b″c′e″ee′平面内取点yHyW[例1]已知一平面ABCD，⑴判别点K是否在平面上；⑵已知平面上一点E的水平投影e，作出其正面投影。a'Xb'c'Ok'ecdabkd'解：⑴分析：要找点K在不在平面内，先找过点K的直线在不在平面内。作图：f'结论：点K不在平面内a'Xb'c'Ok'cdabkd'fa'b'c'ecdabd'⑵分析：点E在平面内，必在平面内某一条直线上。作图方法一：用过点E的任一辅助线作图。e’XO0303例3：已知平面四边形ABCD的水平投影abcd和正面投影a'b'd'。试完成四边形的正面投影。034）直线与平面、平面与平面的相对位置（1）平行直线与平面平行的几何条件：①若直线平行于平面上任意直线，则线、面平行；②若线、面平行，则过平面内任一点必能在平面内作一直线平行于已知直线。03直线与平面平行作图问题：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。0303平面与平面平行的几何条件：两平面内各有一对相交之间分别对于平行。03例：过K点作平面平行于△CDE03直线与平面相交于一点，该点称为交点，交点既是直线与平面的公有点，又是可见与不可见的分界点。两平面相交于一条直线，该直线称为交线。两平面相交于一条直线，该直线称为交线。平面的交线是两平面所公有的直线，一般可求出交线上两点来连得交线。如能线定出交线的方向，则只要求出一点后，利用方向来定出交线的位置。03直线与平面、平面与平面的相交问题，主要是求交点和交线的问题。已知直线、平面的投影，求交点和交线