偏微分方程数值习题解答

李微分方程数值解习题解答1-1如果0)0('，则称0x是)(xJ的驻点（或稳定点）.矩阵A对称（不必正定），求证0x是)(xJ的驻点的充要条件是：0x是方程组bAx的解证明:由)(的定义与内积的性线性性质,得),()),((21)()(0000xxbxxxxAxxJ),(2),()(200xAxxbAxxJ),(),()(0'xAxxbAx必要性:由0)0(',得,对于任何nRx,有0),(0xbAx,由线性代数结论知,bAxbAx00,0充分性:由bAx0,对于任何nRx,0|),(),()0(00'xAxxbAx即0x是)(xJ的驻点.§1-2补充:证明)(xf的不同的广义导数几乎处处相等.证明:设)(2ILf,)(,221ILgg为)(xf的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意)()(0ICx,有babadxxxfdxxxg)()()()('1babadxxxfdxxxg)()()()('2两式相减,得到)(0)()(021ICxggba由变分基本引理,21gg几乎处处为零,即21,gg几乎处处相等.补充:证明),(vua的连续性条件(1.2.21)证明:设'|)(|,|)(|MxqMxp,由Schwarz不等式||||.||||||||.|||||)(||),(|'''''vuMvuMdxquvvpuvuaba11*||||.||||2vuM,其中},max{'*MMM习题:1设)('xf为)(xf的一阶广义导数,试用类似的方法定义)(xf的k阶导数,...2,1(k)解:一阶广义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此可得到如下定义:对于)()(2ILxf,若有)()(2ILxg,使得对于任意的)(0IC,有bakkbadxxxfdxxxg)()()1()()()(则称)(xf有k阶广义导数,)(xg称为)(xf的k阶广义导数,并记kkdxfdxg)(注:高阶广义导数不是通过递推定义的,可能有高阶导数而没有低阶导数.2.利用)(2IL的完全性证明))()((1IHIHm是Hilbert空间.证明:只证)(1IH的完全性.设}{nf为)(1IH的基本列,即0||||||||||||0''01mnmnmnffffff因此知}{},{'nnff都是)(2IL中的基本列(按)(2IL的范数).由)(2IL的完全性,存在)(,2ILgf,使0||||,0||||0'0gfffnn,以下证明0||||1ffn(关键证明dxdfg)由Schwarz不等式,有00||||.|||||)())()((|ffxxfxfnban00'''|||||||||)())()((|ffdxxxgxfnban对于任意的)()(0ICx,成立babanndxxxfdxxxf)()()()(limbabanndxxxgdxxxf)()()()(lim'由banbandxxxfdxxxf)()()()(''取极限得到dxxxfdxxxgbaba)()()()('即')(fxg,即)(1IHf,且0||||||||||||0''01ffffffnnn故)(1IH中的基本列是收敛的,)(1IH是完全的.3.证明非齐次两点边值问题证明:边界条件齐次化令)()(0axxu,则0uuw满足齐次边界条件.w满足的方程为00LufLuLuLw,即w对应的边值问题为0)(,0)('0bwawLufLw(P)由定理知,问题P与下列变分问题等价求)(min)(,**12*1wJwJHCwEHwE其中),(),(21)(0*wLufwwawJ.而CuuauLuuJuuLufuuuuawJ),(),()(~),(),(21)(000000*而200)()(),(),(CbubpuuauLu从而**)()()(~)(CbubpuJwJ则关于w的变分问题P等价于:求)(,12*auHCu使得)(min)()(*1uJuJauHu其中)()(),(),(21)(bubpufuuauJ4就边值问题（1.2.28）建立虚功原理解:令)(0axu,0uuw,则w满足0)(,0)('00bwawLufLuLuLw等价于:1EHv0),(),(0vLufvLw应用分部积分,bababadxdxdvdxdwpvdxdwpvdxdxdupdxdvdxdwpdxd|)()),((还原u,)()(),(),(),(),(),(),(),(),(000bvbpvfvuavuavLuvfvuavLufvwa于是,边值问题等价于:求)(,1auHu,使得1EHv,成立0)()(),(),(bvbpvfvua注:形式上与用v去乘方程两端,应用分部积分得到的相同.5试建立与边值问题等价的变分问题.解:取解函数空间为)(20IH,对于任意)(20IHv用v乘方程两端,应用分部积分,得到0),(),(44vfudxudvfLu而bababadxdxdvdxudvdxudvdxdxudvdxud.|),(33334444dxdxvddxuddxdxvddxuddxdvdxudbababa2222222222|上式为),(][2222vfdxuvdxvddxudba定义dxuvdxvddxudvuaba][),(2222,为双线性形式.变分问题为:求)(20IHu,)(20IHv),(),(vfvua1-41.用GalerkinRitz方法求边值问题1)1(,0)0(102uuxxuu的第n次近似)(xun,基函数nixixi,...,2,1),sin()(解:(1)边界条件齐次化:令xu0,0uuw,则w满足齐次边界条件,且0)1(,0)0(20wwxxLuLuLw第n次近似nw取为niiincw1,其中),...2,1(nici满足的GalerkinRitz方程为njxxcajniiji,...,2,1),(),(21又xdjxixijdxxjxidxxjxiijdxajijiji)cos()cos(2)sin()sin()cos()cos()(),(1010210''jxixsinsin21由三角函数的正交性,得到jijiiaji,0,212),(22而]1)1[()(2)sin()1(),(3102jjjdxxjxxxx于是得到为偶数为奇数jjjjaxxcjjjj0)1()(8),(),(2232最后得到]21[1233])12(1[)12(])12sin[(8)(nknkkxkxxu2.在题1中,用0)1(u代替右边值条件,)(xun是用GalerkinRitz方法求解相应问题的第n次近似,证明)(xun按)1,0(2L收敛到)(xu,并估计误差.证明:nu对应的级数绝对收敛,由}{sinxi的完全性知极限就是解)(xu,其误差估计为338nRn3.就边值问题(1.2.28)和基函数),...,2,1()()(niaxxii,写出GalerkinRitz方程解:边界条件齐次化,取)(0axu,0uuw,w对应的微分方程为0)(,0)('00bwawLufLuLuLw对应的变分方程为0),(),(0vLufvwa)]([)(000axqdxdpqudxdupdxdLubabadxxpvbvbpvdxdp)()()('变分方程为dxvquxpvbvbpvfvwaba])([)()(),(),(0'取niaxxii,...,2,1,)()(,则Galerkin-Ritz方程为baibaiinjjjidxaxxqdxaxixpbbpfca)]()[()()()()(),(),(11bajijijidxqpa][),(''取1,0,1fqp,具体计算1n,)(1),(11abdxaba221)(21)()()(21ababababd,)(211abc,即解)(2101axuu2n:22111)()(2),(),(),(abdxaxaababa3222)(34)(4),(abdxaxaba3223222)(31)()()(31)(2)()(ababababdxaxabdxaxdbaba得到方程组为3221322)(31)(21c)(34)()(ababcabababab特别取1,0ba,有31213411121cc求解得到1,21,6131122ccc其解为202)(21)(axaxuuCh2椭圆与抛物型方程有限元法§1.1用线性元求下列边值问题的数值解:10,2sin242xxyy0)1(,0)0('yy此题改为4/1,0)1()0(,1hyyyy解:取2/1h,)2,1,0(jjhxj,21,yy为未知数.Galerkin形式的变分方程为),(),(vfvLu,其中102104),(uvdxvdxuvLu,10)(2sin2),(dxxxvvf又dxvudxvuvuvdxu10''10''10'10|因此dxuvvuvua)4(),(102''在单元],[1iiixxI中,应用仿射变换(局部坐标)hxxi1节点基函数为)3,2,1(,0,,,1)(111iotherxxxhxxxxxhxxxiiiiiii1022210222222'111)1(41]41[]4[),(1021dhdhhdxaxxxx取2/1h,则计算得124),(211a122)1(41[),(210221dhha10101)1)(2121(2sin)0(2sin[2),(ddhhf1010)1(4)1(sin2sinddhdhf102)2121(2sin2),(代数方程组为),(),(),(),(),(),(212122212111ffyyaaaa代如求值.取4/1h,未知节点值为4321,,,uuuu,方程为4,3,2,1),(),(41jfuajiiji应用局部坐标表示,10221022])1(41[)41(),(dhhdhhajj248]88[21022ddhhajj])1(41[),(1021964)1(1642102d964),(21j