面面垂直证明

定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。—a—aamnmn平面与平面垂直的定义面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线。那么这两个平面互相垂直。—a—证明思路：两平面所成的二面角为直角面面垂直线面垂直βαABCDE定理证明已知：AB平面α，AB⊥平面β，垂足为B求证：α⊥β证：设α∩β=CDB∈CD在β内作BE⊥CD∵AB⊥βCDβBEβ∴AB⊥CDAB⊥BE∴∠ABE为二面角α-CD-β的平面角∴α⊥ββαABCDE∠ABE=90º∴α-CD-β为直二面角面面垂直的性质定理（1）：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。证明思路：直线垂直于平面的判定定理βαABCDE定理证明已知：平面α⊥平面β，α∩β=CD，AB平面α，AB⊥CD，B为垂足。求证：AB⊥β∵α⊥β∴AB⊥BE而AB⊥CDCD∩BE=B∴AB⊥ββαABCDE证：平面β内过点B作BE⊥CD，则∠ABE是二面角α—CD—β平面角面面垂直的性质定理（2）：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。ACDOObcBAB小结立体几何中化归思想的应用：线线垂直线面垂直面面垂直面面垂直线面垂直线线垂直例1：已知Rt∆ABC中AB=AC=a，AD是斜边上高，以AD为折痕，使∠BDC成直角求证1）平面ABD⊥平面BDC平面ACD⊥平面BDC2）∠BAC=60º证：1）∵AD⊥BDAD⊥DCBD∩DC=DAD⊥面BDC而AD面ABD∴平面ABD⊥平面BDC同理可证平面ACD⊥平面BDCABCDDABCD例1：ABCDDABCD2）甲图中,∵在Rt△BAC中AB=AC=a∴BD=DC=a∴BC=a乙图中△BDC为等腰Rt△∴BC=a乙图中,在△ABC中AB=AC=BC=a∴∠BAC=60º222aaa2aaaa2222思考题：已知：平面α⊥平面β，在β内，CD∥ABα∩β=AB，点E到AB距离为3cm,CD到AB间距离为4cm求：E到CD的距离解：在α内过E作EF⊥AB∵α⊥β∴EF⊥β过F作FG⊥CD，连EG由三垂线定理知EG⊥CD∴EG为到CD距离Rt△EFG中，∵EF=3cm，FG=4cm∴EG=5cmEFGABCDαβ