矩阵的等价-相似-合同的关系及应用

1目录摘要.......................................................................................................................11引言......................................................................................................................22矩阵间的三种关系..............................................................................................22.1矩阵的等价关系...................................................................................................22.2矩阵的合同关系.................................................................................................32.3.矩阵的相似关系..................................................................................................33矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别.................................................43.1矩阵的相似与等价之间的关系与区别................................................................................43.2矩阵的合同与等价之间的关系与区别.............................................................................53.2矩阵的合同与等价之间的关系与区别.............................................................................54矩阵的等价、合同和相似的应用............................................................64.1矩阵等价的应用...................................................................................................................74.2矩阵相似的应用...................................................................................................................94.3矩阵合同的应用...................................................................................................................94.4三种关系在概率统计中的应用..........................................................................................105结论...........................................................................................................12结束语..........................................................................................................12参考文献.......................................................................................................132摘要:本文主要了解矩阵的三种的关系的性质、联系、区别及应用，总结它们之间的结论和定理并应用到各个相应的领域。并且详细说明了三者的相同点和不同点。关键字：矩阵的等价关系及应用，矩阵的相似关系及应用，矩阵的合同关系及应用1.引言高等代数中我们讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．那么为了更好的掌握它们，我们不仅要了解它们的定义、性质还要了解它们间的异同点，总结它们的规律，并且要了解它们在各个领域的应用，我们需要更好的知道在什么条件下等价、合同、相似是可以相互转化的，加什么条件才可以相互转化，如果不能相互转化，那么你能找到相应的特例吗？另外，三种矩阵的应用你知道它具体应用到什么领域吗?是如何应用的？2.矩阵的三种关系2.1矩阵的等价关系定义2.1.1:两个sn矩阵,AB等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的n阶矩阵Q，使得BPAQ矩阵A与B等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A与B必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q,使BPAQ.2.1.2矩阵等价的性质：（1）反身性：即AA.（2）对称性：若AB，则BA.（3）传递性：若AB，BC，则AC.(4)A等价于B的充要条件是秩（A）=秩（B）(5)设A为m×n矩阵，秩（A）=r，则A等价于000rE，即存在m级可逆矩阵P，n级可逆矩阵Q，使000rEPAQ.(6)(Schur定理)任何n级复方阵A必相似于上三角形矩阵，即A相似于n0*1其中n,,1为矩阵A的特征值.定理2.2.1：若A为mn矩阵，并且()rAr，则一定存在可逆矩阵P（m阶）和Q（n阶），3使000rmnIPAQB，其中rI为r阶单位矩阵.推论2.2.1：设AB、是两mn矩阵，则AB当且仅当()()rArB.2.2矩阵的合同关系定义2.2.1：设,AB均为数域p上的n阶方阵，若存在数域p上的n阶可逆矩阵p，使得TPAPB,则称矩阵为合同矩阵（若数域p上n阶可逆矩阵p为正交矩阵），由矩阵的合同关系，得出矩阵A与B合同必须同时具备的两个条件：(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵而且是方阵.(2)存在数域p上的n阶矩阵p,TPAPB2.2.2矩阵合同的性质：（1）反身性：任意矩阵A都与自身合同.（2）对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同.（3）传递性：如果B与A合同，C又与B合同，那么C与A合同.(4)合同的两矩阵有相同的二次型标准型.(5)在数域P上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.(6)矩阵合同与数域有关.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.定理2.2.1：数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.定理2.2.1：复数域上秩为r的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：22212rfyyy2.3.矩阵的相似关系定义2.3.1设,AB均为数域p上n阶方阵，若存在数域p上n阶可逆矩阵p使BAPP1,则称矩阵A与B为相似矩阵（若n级可逆矩阵p为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵）.由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵(2)在数域p上n阶可逆矩阵P，使得BAPP12.3.2相似矩阵的性质(1)反身性:TAEAE;(2)对称性:由TBCAC即得11TACBC;（3）传递性:111TACAC和2212TACAC即得21212TACCACC(4)11111221122()PkAkAPkPAPkPAP（其中12,kk是任意常数）；4(5）1111212()()()PAAPPAPPAP；(6）若A与B相似，则mA与mB相似（m为正整数）；(7)相似矩阵有相同的秩，而且，如果1BPAP为满秩矩阵，那么11111()BPAPPAP.即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.(8）相似的矩阵有相同的行列式；即：如果1BPAP，则有：11BPAPPAPA(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设1BPAP，若B可逆，则11111()BPAPPAP从而A可逆.且1B与1A相似.若B不可逆，则1()PAP不可逆，即A也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理2.3.1相似矩阵的特征值相同.推论2.3.1相似矩阵有相同的迹3.矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别3.1矩阵的相似与等价之间的关系与区别定理3.1.1相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵．证明：设n阶方阵,AB相似，由定义3知存在n阶可逆矩阵1P，使得111PAPB，此时若记11PP,1QP,则有PAQB,因此由定义1得到n阶方阵,AB等价但对于矩阵100010A,121010B等价，A与B并不相似，即等价矩阵未必相似．但是当等价的矩阵满足一定条件时，可以是相似的，如下面定理定理3.1.2：对于n阶方阵,AB，若存在n阶可逆矩阵,PQ使PAQB,(A与B等价)，且PQE(E为n阶单位矩阵)，则A与B相似．证明：设对于n阶方阵A与B,若存在n阶可逆矩阵,PQ,使PAQB,即A与B等价．又知PQE,若记11PP,那么1QP,也即111PAPB,则矩阵,AB也相似．3.2矩阵的合同与等价之间的关系与区别定理3.2.1：合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．证明：设n阶方阵,AB合同，由定义2得，存在n阶可逆矩阵1P，使得11TPAPB，若记51TPP,1QP,则有PAQB因此由定义1得到n阶方阵,AB等价但对于矩阵1001A,1201B等价，A与B并不合同，即等价矩阵未必合同．什么时候等价矩阵是合同的？只有当等价矩阵的正惯性指数相同时等价矩阵是合同矩阵3.3矩阵的合同与相似之间的关系与区别合同矩阵未必是相似矩阵例单位矩阵E与2E.两个矩阵的正负惯性指数相同故合同但作为实对称矩阵的特征值不同,故不相似相似矩阵未必合同例如A与B相似，则存在可逆矩阵P使B=P\BP,如果P的逆矩阵与P的转置矩阵不相等，则相似矩阵不是合同矩阵定理3.3.1：正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．证明：若存在一个正交矩阵P,即TPPE使得1PAPB即~AB，同时有1TBPAPPAP，所以A与B合同.同理可知，若存在一个正交矩阵P，使得TPAPB即A与B合同，则有1~TBPAPPAPAB定理3.3.2：如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A与B既相似又合同．证明：设A与B的特征根均为n,,21，由于A与n阶实对称矩阵，一定存在一个n阶正交矩阵Q使得nAQQ..211同时，一定能找到一个正交矩阵P使得nBPP..211，从而有BPPAQQ11将上式两边左乘P和右乘1P,得1111111QPAQPQPAQPPQB由于TQQE，TPPE，