09-10届 高等数学下 期中考试答案

《高等数学》试卷第1页共6页华南理工大学期中考试2009-2010学年第二学期《高等数学》期中考试试卷注意事项：1.考试形式：闭卷；2．本试卷满分100分，考试时间90分钟。题号一二三四总分得分评卷人一.解答下列各题(每小题5分,共20分)1.设函数,zzxy由方程,0yzFxx确定，其中F为可微函数，且20F，求zzxyxy答案：z２．设,zzxy是由方程22xyzxyz所确定的函数，其中具有二阶导数，且1.求dz.解对等式22xyzxyz两端取微分得22xdxydydzdxdydz解得2211xydzdxdy，３．求函数,arctanxfxyy在点0,1处的梯度.答案：i４．设P为椭球面222:1Sxyzyz上的一动点，若S在点P处的切平面与xoy面垂直，求点P的轨迹C。解椭球面S点,,Pxyz处的法向量是,,2,2,2xyznFFFxyzzy，_____________________…姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………《高等数学》试卷第2页共6页点P处的切平面与xoy面垂直的充要条件是0,0,120nzy所以点P的轨迹C的方程为：222120xyzyzzy，即2231420xyzy二.解答下列各题(每小题10分,共30分)５．求二元函数22,2lnfxyxyyy的极值解22,22,,2ln1xyfxyxyfxyxyy令,0,,0xyfxyfxy，解得唯一驻点10,e由于211110,220,0,400xxxyAfBfeeee222110,20,220yyCfeeBACeee从而110,fee是,fxy的极小值６．设函数,ufxy具有二阶连续偏导数，且满足等式2222241250uuuxxyy。确定的,ab值，使等式在变换,xayxby下简化为20u解2222222,2uuuuuuuxx，222222222,2uuuuuuuabaabbyy，222222()uuuuaabbxy将以上各式代入原等式，得2222222(124)10128(5124)0uuuaaababbb《高等数学》试卷第3页共6页由题意，令221240,101280,51240aaababbb解得22,5ab，或2,25ab7．已知曲线22220:35xyzCxyz，求C上距离xOy面最远的点和最近的点。解点,,xyz到xOy面的距离为z，故求:C上距离xOy面最远的点和最近的点的坐标，等价于求函数2Hx在条件22220xyz与350xyz下的最大值点和最小值点。令2222,,,,,235Lxyzzxyzxyz由22222202022022302352035xyzLxLyxzLzzxyxzxyzxyz，解得555xyz或111xyz根据几何意义，该曲线上存在距离xOy面最远的点和最近的点，故所求距离xOy面最远的点和最近的点的坐标分别为5,5,5,1,1,1三.解答下列各题(每小题8分，共32分)８．设函数,fxy连续，交换二次积分的积分次序：10022,ydyfxydx.答案：10220,xdxfxydx９．设函数f连续，若2222,uvDfxyFuvdxdyxy，其中区域D为第一象限2221xyu与0arctanyvx的部分，求Fu答案：2vfu《高等数学》试卷第4页共6页１０．计算二重积分3Dxydxdy，其中D由曲线21xy与直线20xy及20xy围成。解作图（略）可知，D具有对称性，第一象限部分可表示为201,21yyxy，从而2113323202323yDDyxydxdyxxydxdydyxxydx112424001141233215yydyyydy11.计算二重积分22sin1cos2DIrrdrd，其中,0sec,04Drr.解由题设，可知,0sec,0,01,04Drrxyxyx从而12222220011112xDIyxydxdydxxydxy1133222220001111133xxydxxdx作换元sinxt，则2401111311cos3333422316Itdt四.解答下列各题(每小题9分,共18分)12.求位于两球面22224xyz和22211xyz之间的均匀物体的质心.解因为区域关于z轴对称，故质心必位于z轴上，所以0,0xy，由公式1zdvzzdvmdv.由常数，不妨设1，则《高等数学》试卷第5页共6页dv33442821333.zdvzdv24cos22002coscossinddd244cos22cos001cossin4dd4442012cossin4cos16cos4d520120cossind6201120cos206所以20152873z，从而质心坐标为150,0,7.由公式1zdvzzdvmdv.由常数，不妨设1，则dv33442821333.zdvzdv24cos22002coscossinddd244cos22cos001cossin4dd4442012cossin4cos16cos4d《高等数学》试卷第6页共6页520120cossind6201120cos206所以20152873z，从而质心坐标为150,0,7.13.计算由2212,0,0xyxyzxy所确定的立体的体积.分析边界函数含有22xy项，故选择柱面坐标系表示.解由222221xyxxy化为极坐标表示为222cos2cos131rrrrr.立体所占空间闭区域为2:0,12cos,0sincos3rzr，22cossincos30109128rVdVddrrdz.