大学 高等数学 竞赛训练 极限

第1页（共6页）大学生数学竞赛训练一（极限）一、计算23400sinln138limsin1xxxxxttdtxxe解：因为3333311sin666xxxxxxxxx原式343200054sinln1sinln1382limlim1566xxxxxxttdtxxxxx又因为332332332sinln126232xxxxxxxxxxxxx4441166xxx所以23400sinln1138lim5sin1xxxxxttdtxxe。二、计算3432324lnlim11xxxexxxxxxxx解：因为343232434323241011lim11limxtxttttttttxxxxxxxt343232401111limtttttttttt32432011134lim12tttttttttt332lnlim11xxxexxxx323111lim1lnxxxexxxx第2页（共6页）323111lim1lnlnxxxxeexxx323111lim1ln10xxxexxx所以3432324ln1lim1112xxxexxxxxxxx。三、计算2210033011221!2lim1xnnnnxxxtdtnxxe解：设21011221!nnnnSttn，则2101212sin21!22nnnttStn因为3122111333xxexxxxxxx，所以222100033004112sin221!222limlim213xnxnnnxxxxtxtdtdtnxxex222000312sincos112222limlimlim888323xxxxxxxxxx。四、计算2203022sinlimlim2arctan1arctanttxxxtdxydyxtt解：因为22lnarctan22limarctan1lim1xxxtxxxet22224221112arctanlnarctan12limlnarctanlimlim11xxxxxxtxtttxtxx42224222limxtxtttx第3页（共6页）22220000sinsinsintttytxdxydydyydxyydy，所以22220032300222sinsinlimlimlim2arctan1arctan1arctantttxxtxttdxydyyydyxtett220750022sinsinlimlim727tttyydytttt五、设数列nx定义如下110,1,11,2,nnnxxxxn证明：极限lim1nnnx。证明：方法一、考虑函数10,1fxxxx，因为12fxx，当12x时，0fx。由此可得12x时，fx在0,1上的最大值为1124f，且fx在10,2是递增的。所以211110143xxx32211111011133344xxx…………122111110111111nnnxxxnnnnn1111111011111nnnxxxnnnnn…………由于011nnnxn，1111110nnnnnnnnxnxnxxnxxnx，所以数列nnx是单调有界的，由单调有界准则可得limnnnx存在。显然，0lim1nnnx。现证明lim1nnnx，用反证法证明，设limnnnxA，且01A，取114A，因为lim,lim0nnnnnxAx，所以存在整数0N，当nN时有第4页（共6页）111,0144nnnxAAxA1311,4444nnnxAxA1112nnxA111111111111nnnnnnnnnnnxnxxnxxnxnxxxnx1111111nnnnnnxxnxxnx1111111121111NNNnnnnnNxxNxnxxnxxnx11111111112nnNkkNkkNkNNxxkxNxAx由此可得正项级数1nnx收敛；另一方面，由111nnxnxxxn，级数11nxn发散，由比较判别法，正项级数1nnx发散，这是一个矛盾，所以lim1nnnx。方法二、考虑函数10,1fxxxx，因为12fxx，当12x时，0fx。由此可得12x时，fx在0,1上的最大值为1124f，且fx在10,2是递增的。所以211110143xxx32211111011133344xxx…………122111110111111nnnxxxnnnnn1111111011111nnnxxxnnnnn…………由夹逼准则可得，1lim0limnnnnxx，又因为第5页（共6页）1111111110111nnnnnnnnxxxxxxxx所以数列1nx是单调递增的，利用斯托尔茨定理2121111limlimlimlimlimlim11111nnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxnnnnxxxxxxxx。六、设函数fx在区间[,)a上有定义，且在每一个有限区间,ab上fx是有界的，如果lim1xfxfxA，证明：limxfxAx证明：对于任取的0，因为lim1xfxfxA，所以存在0X当1xX时，有13fxfxA取11xX，令11,nxXlxXn，则有01l111fxfXlnfXlfXlnAAxxnx1111fXlnfXlfXlXlnAAxnxx因为11133AfXlfXlA112133AfXlfXlA…………11133AfXlnfXlnA所以113fXlnfXlAn由于在每一个有限区间,ab上fx是有界的，所以存在20X，当2xX时有11,33fXlXlAxx取12max1,XXX，当xX时有第6页（共6页）1111fxfXlnfXlfXlXlnAAAxxnxx1111fXlnfXlfXlXlAAnxx由此可得limxfxAx。