大学 高等数学 竞赛训练 微分方程

第1页（共4页）大学生数学竞赛训练五—微分方程一、（15分）设函数fx在[0,)上可导，且01f，对任给的,[0,)xy满足等式0101xyfxyyfxftdtx1）求导数fx；2）证明：当0x时，成立不等式：1xefx。解：1）设yx，则有0101xxfxxxfxftdtx0101xfxxfxfxftdtxx当0x时有0101xfxfxftdtx01xxfxfxftdt两边关于x求导得1fxfxxfxfxfx120xfxxfx解微分方程得1lnln1fxxxC1xCefxx由条件01f可得01f，因此1xefxx2）当0x时，0fx，所以此时有01fxf；又因为11xxxxexefxeexx，当0x时，0xfxe，所以此时有010xfxef，因此当0x时，有1xefx二、（15分）设微分方程10yyqxyx的两个解12,yxyx满足121yy求此微分方程的通解。解：1）如果1yxa为常数，则有第2页（共4页）0aqx因为121yy，所以0a，由此可得0qx，此时方程变为10yyx令Py，则有21122CPPpCxyxCx2）如果1y不是常数，则有211yy，代入原方程可得11110yyqxyx（1）211113211120yyypxyyxyy（2）由（1）、（2）可得2111111121yyyyyyxyx111110yyyyx令11yPy，则有10PPx，解得21xye，22xye，因为它们是线性无关的，所求通解为2212xxyCeCe三、（15分）有一个攀岩爱好者要攀登一个表面为23:250040.513.5zxyy的山岩，在攀岩时他总是沿着最陡峭的路线攀登，他的出发点在山下的一点5,5,0处，求他攀登的路线方程。解：设所求曲线在xoy面上的投影为yfx，则其切向量,dxdy与函数23250040.513.5zxyy的梯度2281,40.540.5xyxy平行，因此有222dxdyxyxy此为一阶齐次方程，解得221yCxx，由5,5xy可得0C，再由题意得到yx第3页（共4页）所求曲线方程为23250040.513.5zxyyyx。四、（15分）求方程222222xdyxyydxxy的通解。解：设uxy，则有21udyuduyxdxxxdx，原方程化为22222122124uduxuududxxxdxuuux解得211lnln28uuxC221lnln28xyxyxC五、(15分)设2101xxx，求在R上的连续函数yyx使得其在,11,上满足方程2yyx及初值条件00y。解：解方程2yyx得22xxyexedxC当1x时，2221121xxxyeedxCCe当1x时，222220xxxyeedxCCe由y的连续性可得22212211CeCeCCe，又因为00y可得11C，所求函数为2221111xxexyeex。六、（15分）已知二元函数,zfxy有二阶连续的偏导数，并且满足212zzxyxy证明：0,0,fyfy。第4页（共4页）证明：因为二元函数,zfxy有二阶连续的偏导数，所以22zzxyyx022zzzzgxyxxxx1122dxdxxxgxzegxedxhyxdxhyxgxzxdxxhyx由此可得0,0,fyfy。