单位脉冲函数详解

第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng上次课程回顾1.0信号与系统信号、系统的概念1.1信号的描述和分类确定信号与随机信号；连续信号与离散信号；周期信号与非周期信号；能量信号与功率信号1.2信号的基本特性时间、频率、能量和信息特性第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng上次课程回顾1.3信号的基本运算相加和相乘翻转、平移和展缩导数和积分差分和迭分第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng1.4阶跃信号和冲激信号1.4.1连续时间阶跃信号图1.4-1单位阶跃信号ttt1Δ11t0(a)(b)(c)ooo(t)Δ(t)(t－t0)阶跃信号和冲激信号是描述一类特定物理现象的数学模型，它们在信号与系统分析中具有重要意义。110)(ttttt00)0(1)0(0)(lim)(0tttt10)(0tt00tttt注意：信号ε(t)在t=0处和ε(t-t0)在t=t0处都是不连续的。第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng－11f1(t)－11sin0tf2(t)otott0－11f3(t)0t123－1－2(a)(b)(c)sin0t应用单位阶跃信号可以简化某些时域信号的表示。例如：第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng)(lim)(0tpt1.4.2连续时间冲激信号01)()(tdtdtp0其他t图1.4-3单位冲激信号（δ函数）第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng1=dt)(t单位阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流iC(t)=Cdu(t)/dt可用冲激信号表示。狄拉克(Dirac)定义式：(t)=0,t0(t)=,t=01)冲激信号的定义3)冲激信号实例2)冲激信号的图形表示t)(t)1(t)(0tt)1(0t表明δ函数除原点以外，处处为零，但其面积为1。)(lim)(0tpt第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng(2)冲激信号的物理意义：表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型(3)冲激信号的作用：(1)冲激信号具有强度：其强度就是冲激信号对时间的定积分值。在图中用括号注明，以区分信号的幅值。A.表示其他任意信号；B.表示信号间断点的导数。说明：)()()()()(ktkfdtftfk第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Fengδ函数的积分为单位阶跃信号)(lim)(0tpt21lim)(0tet(高斯函数序列）(取样函数序列)(双边指数函数序列)δ函数的其他定义：)(t阶跃信号的导数为δ函数)(lim0tdtd)(lim0tdtd)(tdtdttt)/sin(lim)(0tet21lim)(0冲激信号与阶跃信号的关系：)0(1)0(0)(ttdtxt第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng1.4.3广义函数和δ常规函数，在间断点处的导数是不存在的；除间断点外，自变量t在定义域内取某值时，函数有确定的值。单位阶跃信号ε(t)在间断点处的导数为单位冲激信号、冲激信号δ(t)在t=0点处的值为无穷大。------不是常规函数奇异函数（或广义函数）：非常规函数。第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng1.普通函数y=f(t)：对定义域中的每个自变量t，按一定的运算规则f指定一个数值y的过程;广义函数g(t)：对试验函数集{φ(t)}中的每个函数φ(t)，按一定运算规则Ng分配(或指定)一个数值Ng[φ(t)]的过程。广义函数g(t)的定义为:)]([)()(tNdtttgg广义函数与普通函数的对应关系第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng广义函数的基本运算：(1)相等)()(21tgtg若)],([)]([21tNtNgg则定义(2)相加若则定义)],([)]([)]([21tNtNtNggg)()()(21tgtgtg(3)尺度变换(4)微分第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng2.δ函数的广义函数定义按广义函数理论，δ函数定义为)0()()(dttt上式说明：δ函数与试验函数φ(t)作用后，能指定φ(t)在t＝0处的值φ(0)。或者说，广义函数δ(t)的作用效果是从φ(t)中筛选出数值φ(0)。通常称此性质为δ函数的筛选性质。第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng3.δ性质1δ函数的微分和积分式中，φ’(0)是φ(t)的一阶导数在t=0时的值。通常称δ’(t)为单位冲激偶，用下图所示的图形符号表示。ot(1)(－1)(t)′)0()()()1()()(dtttdttt第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Fengδ函数和单位冲激偶δ’(t)的积分为：当t，由上面两式可得单位冲激偶的性质之一第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng性质2δ函数与普通函数f(t)相乘普通函数f(t)与广义函数δ(t)的乘积，有:dttttf)()]()([根据广义函数相等的定义，得:)()0()()(tfttfdtttft)()()()0()0(fdtttf)()()0(dtttf)()()0(δ函数的筛选性质)()()()()()()()0()()0()()(00000tfdttttftttftttffdttfdtttf第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng例1.4–1试化简下列各信号的表达式。)()0()()(tfttf)()()()(000tttftttf第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng性质3δ’(t)函数与普通函数f(t)相乘第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng根据广义函数相等的定义，有)()0(')(')0()(')(tftfttf对上式两边在(-∞,∞)区间取积分)0(')()0(')(')0()(')(fdttfdttfdtttf同理，将δ’(t)换成δ’(t-t0)，重复上述推导过程)()(')(')()(')(00000tttftttftttf)(')(')(00tfdttttf单位冲激偶的性质之二第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng性质4设常数a≠0，按照广义函数尺度变换和微分运算的定义，可将δ(n)(at)表示为根据广义函数相等的定义，可得到)(11)()()(taaatnnn当n=0和1时，分别有)(1)(taat)('11)('taaat第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng性质5奇偶性在尺度变换式中，若取a=-1，则:)()1()()()(ttnnn显然，当n为偶数时，有)()()()(ttnn,4,2,0n当n为奇数时，有)()()()(ttnn,5,3,1n)(11)()()(taaatnnn表明：单位冲激函数δ(t)的偶阶导数是t的偶函数，而其奇阶导数是t的奇函数。第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng例1.4–2计算下列各式：第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng解：第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng注意：2.对于(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信号的展缩特性将其化为1/|a|(t+b/a)形式后，方可利用冲激信号的取样特性与筛选特性。1.在冲激信号的取样特性中，其积分区间不一定都是(，+)，但只要积分区间不包括冲激信号(tt0)的t=t0时刻，则积分结果必为零。)0()()(dttt)()()(00tfdttttf第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng1.4.4阶跃序列和脉冲序列1.单位阶跃序列离散时间单位阶跃序列定义为01)(k00kk01234－1－2(k)1…k第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng2.单位脉冲序列离散时间单位脉冲序列定义为01)(k00kk0123－1－2－31k(t)(k)第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng因为只有当k=0时δ(k)的值为1，而当k≠0时δ(k)的值均为零，所以任一序列f(k)与δ(k)相乘时，结果仍为脉冲序列，其幅值等于f(k)在k=0处的值，)()0()()(kfkkf而当f(k)与δ(k-m)相乘时，有)()()()(mkmfmkkf根据定义，可看出ε(k)与δ(k)之间满足以下关系：knnk)()()()1()()(kkkk单位脉冲序列的筛选性质后向差分迭分第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng1.5系统的描述系统是指由相互作用和依赖的若干事物组成的、具有特定功能的整体。防混迭滤波器A/D数字处理系统D/A平滑滤波器输出输入f(t)信号处理系统第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng1.5.1系统模型所谓系统模型是指对实际系统基本特性的一种抽象描述。形式(以电系统为例)：电路图模拟框图信号流图数学方程按照一定规则建立的用于描述系统特性－－－－－数学模型第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系FengRL串联电路LR+-f(t)i(t)f(t)R/Li(t)i'(t)-1/L1.电路图表示2.模拟框图表示第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng)()(d)(dtftRittiL3.信号流图4.数学模型第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng着眼于建立系统输入、输出与内部状态变量之间关系的系统模型称为状态空间模型或状态空间描述，相应的数学模型称为系统的状态空间方程。输入输出模型着眼于建立系统输入输出关系的系统模型称为输入输出模型或输入输出描述，相应的数学模型(描述方程)称为系统的输入输出方程。状态空间模型•输入输出描述：N阶微分方程或N阶差分方程•状态空间描述：N个一阶微分方程组或N个一阶差分方程组第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng如果系统只有单个输入和单个输出信号，则称为单输入单输出系统，如下图所示。单输入单输出系统y()f()··如果含有多个输入、输出信号，就称为多输入多输出系统.多输入多输出系统y1()f1()f2()fp()……y2()yq()······第1章信号与系统的基本概念2020/12/10电子与通信工程系Feng对于一个给定系统，如果在任一时刻的输出信号仅决定于该时刻的输入信号，而与其它时刻的输入信号无关，就称之为即时系统或无记忆系统；否则，就称为动态系统或记忆系统。例如，只有电阻元件组成的系统是即时