二次函数小综合-二次函数与交点问题

二次函数小综合-二次函数与交点问题例1(2018四调题改)抛物线y＝x2－kx－k，A(1，－2)，B(4，10)，抛物线与线段AB(包含A、B两点)有两个交点，那么k的取值范围为_______．解：线段AB的解析式是_______(1≤x≤4)，联立抛物线与直线解析式方程得x2－4x＋6＝kx＋k，该方程在1≤x≤4时有两根，此方程可以看作定抛物线_______(1≤x≤4)，与过定点C(－1，0)的动直线_____．(填写解析式，上同)，有两个交点，画出图像如图．根据图像回答问题：M点的坐标为______，N坐标为______；l1的k值为________；l2的k值为________．所以，仅有两个交点时，k的取值范围为_____________．41l1l2NMCOxyy＝4x－6,y＝x2－4x＋6,y＝kx＋k,(1,3),(4,6),k＝±211－6,k＝65,－6＋211＜k≤65.例2．直线y＝2x﹣5m与抛物线y＝x2﹣mx﹣3在0≤x≤4范围内只有一个公共点，则m的取值范围为﹣5＜m≤或m＝8﹣2．解：联立可得：x2﹣（m+2）x+5m﹣3＝0，令y＝x2﹣（m+2）x+5m﹣3，∴直线y＝2x﹣5m与抛物线y＝x2﹣mx﹣3在0≤x≤4范围内只有一个公共点，即y＝x2﹣（m+2）x+5m﹣3的图象在0≤x＜4上只有一个交点，当△＝0时，即△＝（m+2）2﹣4（5m﹣3）＝0解得：m＝8±4，当m＝8+4时，x＝＝5+2＞4当m＝8﹣4时，x＝＝5﹣2，满足题意，当△＞0，∴令x＝0，y＝5m﹣3，令x＝4，y＝m+5，∴（m+5）（5m﹣3）＜0，∴﹣5＜m＜令x＝0代入x2﹣（m+2）x+5m﹣3＝0，解得：m＝，此该方程的另外一个根为：，故m＝也满足题意，故m的取值范围为：﹣5＜m≤或m＝8﹣2例3．在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（1，﹣6），若抛物线y＝ax2+（a+2）x+2与线段AB有且仅有一个公共点，则a的取值范围是﹣5＜a≤1且a≠0或a＝8+4．解：当抛物线过A点，B点为临界，代入A（﹣2，0）则4a﹣2（a+2）+2＝0，解得：a＝1，代入B（1，﹣6），则a+（a+2）+2＝﹣6，解得：a＝﹣5，又a≠0，当a＝﹣5时，抛物线与线段AB有两个交点，所以a的取值范围是﹣5＜a≤1且a≠0．∵直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4，由，消去y得到：ax2+（a+4）x+6＝0，当△＝0时，直线AB与抛物线只有一个交点，∴（a+4）2﹣24a＝0，解得a＝8+4或8﹣4，经检验：当a＝8+4时，切点在线段AB上，符合题意，当a＝8﹣4时，切点不在线段AB上，不符合题意，故答案为﹣5＜a≤1且a≠0或a＝8+4．例4．已知二次函数y＝（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6的图象与x轴负半轴至少有一个交点，则m的取值范围为（）A．1＜m＜3B．1≤m＜2或2＜m＜3C．m＜1D．m＞3【解答】解：∵二次函数y＝（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6，∴m﹣2≠0，∴m≠2，当①图象与x轴的交点有两个，原点的两侧各有一个，则，解得2＜m＜3；②图象与x轴的交点都在x轴的负半轴，则，解得：1≤m＜2．综上可得m的取值范围是：1≤m＜2或2＜m＜3故选：B．例5．已知a、b为y关于x的二次函数y＝（x﹣c）（x﹣c﹣1）﹣3的图象与x轴两个交点的横坐标，则|a﹣c|+|c﹣b|的值为解：当y＝0时，（x﹣c）（x﹣c﹣1）﹣3＝0，（设a＜b），整理得x2﹣（2c+1）x+c2+c﹣3＝0，△＝（2c+1）2﹣4（c2+c﹣3）＝13，x＝，所以a＝c+，b＝c+，所以|a﹣c|+|c﹣b|＝c﹣a+b﹣c＝b﹣a＝c+﹣（c+）＝．故答案为．练习1已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y＝x2+（a﹣3）x+3的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是﹣1≤a＜﹣或a＝3﹣2．解：依题意，应分为两种情况讨论，①当二次函数顶点在x轴下方，若yx＝1＜0且yx＝2≥0，即，解得此不等式组无解；若yx＝2＜0且yx＝1≥0，即，解得﹣1≤a＜﹣；②当二次函数的顶点在x轴上时，△＝0，即（a﹣3）2﹣12＝0，解得a＝3±2，而对称轴为x＝﹣，可知1≤﹣≤2，故a＝3﹣2．故答案为：﹣1≤a＜﹣或a＝3﹣2．2．（2018预测）已知抛物线y＝x2－2mx＋9m－1，当－3≤x≤3时，使y＝m成立的x的值恰好只有一个，则m的取值范围是_________________．447m或415m3．（2018新观察四调模拟卷）已知A（－1，6）、B（4，1）抛物线y＝x2＋b与线段AB只有唯一公共点，则b的取值范围是_________________．－15≤b＜5或214b4.已知二次函数y＝x2+x+c（b，c为常数），且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；∵对称轴x＝﹣＝﹣，∴当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则①此公共点一定是顶点，∴△＝1﹣4c＝0，即c＝，②一个交点的横坐标小于等于﹣1，另一交点的横坐标小于1而大于﹣1，∴1﹣1+c≤0，1+1+c＞0，解得﹣2＜c≤0．综上所述，c的取值范围是：c＝或﹣2＜c≤0；5．已知a、b为抛物线y＝（x﹣c）（x﹣c﹣d）﹣2与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a﹣c|+|c﹣b|的值为b﹣a．解：当x＝c时，y＝﹣2＜0，由图可知，a＜c＜b，则|a﹣c|+|c﹣b|＝c﹣a+b﹣c＝b﹣a．故答案为b﹣a．6．二次函数y＝x2﹣4mx+1﹣2m，当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有一个公共点，求m的取值范围．解：∵当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有一个公共点，∴可得以下几种情况：①，解得m＝．②，解得m＞．③，解得m＜﹣1．∴综上，m＞，m＜﹣1或m＝时当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有一个公共点．