平稳时间序列模型

02468101214161850-6070-8090-1000%5%10%15%20%25%30%35%`第一章平稳时间序列模型组长：李国凤组员：李俐芸孙炜指导教师：桂文林2方法平稳序列建模序列预测eviews软件演示本章结构3方法AR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）ARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel）4时间序列的模型类型很多，我们这里只讨论平稳时间序列模型。这里讲的平稳是指宽平稳，其特性是序列的统计特性不随时间的平移而变化，即均值和协方差不随时间的平移而变化。纯随机性方差齐性各序列值之间没有任何相关关系，即为“没有记忆”的序列方差齐性根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，用最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、有效的00k(k)，)0(2tDX白噪声序列的性质数据的平稳性一.图示判断1.平稳时间序列在图形上表现处围绕其均值不断波动的过程；2.根据相关图，若一个随机过程是平稳的，其特征根应都在单位圆外，倒数都在单位圆内；3.在分析相关图时，如果自相关函数衰减很慢，近似呈线性衰减，即可认为该序列是非平稳的。自回归AR模型具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为特别当时，称为中心化模型tsExtsEVarExxxxtsstttptptpttt,0,0)(,)(0)(0222110，p)(pAR00)(pAR10第一节一阶自回归模型(AutoregressiveModel)一、一阶自回归模型如果时间序列),2,1(tXt后一时刻的行为主要与其前一时刻的行为有关，而与其前一时刻以前的行为无直接关系，即一期记忆，也就是一阶动态性。描述这种关系的数学模型就是一阶自回归模型:ttiaXX11(2.1.1)记作AR(1)。其中，tX为零均值(即中心化处理后的)平稳序列.1为tX对1tX的依赖程度，ta为随机扰动。111.一阶自回归模型的特点AR(1)模型也把tX分解为独立的两部分：一是依赖于1tX的部分11tX；二是与1tX不相关的部分ta(独立正态同分布序列)122.AR(1)与普通一元线性回归的区别:(1)普通线性回归模型需要一组确定性变量值和相应的观测值；AR(1)模型只需要一组随机变量的观测值。(2)普通线性回归表示一个随机变量对另一个确定性变量的依存关系；而AR(1)表示一个随机变量对其自身过去值的依存关系。(3)普通线性回归是静态模型；AR(1)是动态模型。(4)二者的假定不同。(5)普通回归模型实质上是一种条件回归，AR(1)是无条件回归。133.相关序列的独立化过程(2.1.1)式的另一种形式为：11tttXXa(2.1.3)上式揭示了AR(1)的一个实质性问题：AR(1)模型是一个使相关数据转化为独立数据的变化器。由于就AR(1)系统来说，仅有一阶动态性，即在1tX已知的条件下，tx主要表现为对1tX的直接依赖性，显然，只要把tx中依赖于1tX的部分消除以后，剩下的部分)(11ttXX自然就是独立的了。14二、AR(1)模型的特例——随机游动(Randomwalk)1.11时的AR(1)模型：此时(2.1.1)式的具体形式为aXXtt1也可以用差分表示aXtaXXtt1或所谓差分，就是tX与其前一期值的差，从统计上讲，差分结果所得到的序列就是逐期增长量。一般地k阶差分记作tkX差分可以使非平稳序列转化为平稳序列。Box-Jenkins(简称记为B-J)，就是利用类似于这种数学工具来处理非平稳序列的。。15一阶自回归模型AR（1）0102030405060708090100-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5216AR（1）模型的特例——随机游动tttyy12,0~WNt0102030405060708090100-12-10-8-6-4-2024172.特例形式的特性：(1)系统具有极强的一期记忆性，即惯性。也就是说，系统在t-1和t时刻的响应，除随机扰动外，完全一致。差异完全是由扰动引起的。(2)在时刻t-1时，系统的一步超前预测就是系统在t-1时的响应1tX，即1)1(1ttXX(3)系统行为是一系列独立随机变量的和，即0ttjjXa18第二节一般自回归模型对于自回归系统来说，当tX不仅与前期值1tX有关，而且与2tX相关时，显然，AR(1)模型就不再是适应模型了。如果对这种情形拟合AR模型，ta不仅对1tX,而且对2tX呈现出一定的相关性，因此，AR(1)模型就不适应了。19一、tata2tX的依赖性对ta2tX当AR(1)模型中的与不独立时,我们将记为,于是tata可以分解为22tttaXa(2.2.1)从而(2.2.1)式的形式变为ttttaXXX2211(2.2.2)可见，tX与1tX和2tX有关，所以(2.2.2)式是一个AR(2)模型。20二、AR(2)模型的假设和结构1.AR(2)模型的基本假设:tX1tX2tX(1)假设与和有直接关系,而与无关;)4,3(jXjt(2)ta是一个白噪声序列。这就是AR(2)模型的两个基本假设。2.AR(2)模型的结构:AR(2)模型是由三个部分组成的：第一部分是依赖于的部1tX分，用表示;11tX第二部分是依赖于的部分;用2tX21tX来表示.第三部分是独立于前两部分的白噪声.ta21三、一般自回归模型当AR(2)模型的基本假设被违背以后，我们可以类似从AR(1)到AR(2)模型的推广方法,得到更为一般的自回归模型AR(n)模型:tntntttaXXXX2211上式还可以表示为ntnttttXXXXa2211可见，AR(n)系统的响应tX具有n阶动态性。拟合AR(n)型的过程也就是使相关序列独立化的过程。AR模型平稳性判别方法特征根判别AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质，等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都在单位圆外。移动平均MA模型具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为特别当时，称为中心化模型q)(qMA0)(qMA112220()0(),()0,ttttqtqqtttsxEVarEst，24第三节移动平均模型(MovingAverageModel)AR系统的特征是系统在t时刻的响应tX仅与其以前时刻的响应ntttXXX,.21有关，而与之前时刻进入系统的扰动无关。如果一个系统在t时刻的响应tX，与其以前时刻,2,1tt的响应21.ttXX无关，而与其以前时刻,2,1tt进入系统的扰动,,21ttaa存在着一定的相关关系，那么，这一类系统则为MA系统。25一、一阶移动平均模型：MA(1)tX对于一个MA系统来说，如果系统的响应tX刻进入系统的扰动仅与其前一时1ta存在一定的相关关系，我们就得到模型:11tttXaa其中：ta为白噪声。MA(1)模型的基本假设为：系统的响应仅与其前一时刻进入系统的扰动1ta有一定的依存关系；而且ta为白噪声。26二、一般移动平均模型类似与AR模型,当MA(1)的假设被违背时,我们把MA(1)模型推广到MA(2),进而再对广到更一般的MA(m)模型，即：mtmttttaaaaX2211tX仅与这时12,,tttmaaa有关，而与(1,2,)tjajmm无关，且ta为白噪声序列，这就是一般移动平均模型的基本假设。MA模型的可逆性可逆MA模型定义若一个MA模型能够表示称为收敛的AR模型形式，那么该MA模型称为可逆MA模型一个自相关系数列唯一对应一个可逆MA模型。MA模型的可逆条件MA(q)模型的可逆条件是：MA(q)模型的特征根都在单位圆内等价条件是移动平滑系数多项式的根都在单位圆外11i1iARMA模型的定义具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为特别当时，称为中心化模型),(qpARMAtsExtsEVarExxxtsstttqpqtqttptptt,0,0)(,)(0)(00211110，，00),(qpARMA30第四节自回归移动平均模型AutoregressiveMovingAverageModel一个系统，如果它在时刻t的响应tX，不仅与以前时刻的自身值有关，而且还与其以前时刻进入系统的扰动存在一定的依存关系，那么，这个系统就是自回归移动平均系统，相应的模型记作ARMA.则对于这样的系统要使响应tX转化为独立序列ta，不仅要消除tX依赖于t时刻以前的自身部分，而且还必须消除tX依赖于t时刻以前进入系统的扰动的部分。31一、ARMA(2，1)模型ta1.ta对2tX和1ta的相关性由于AR(1)模型：tttaXX11已不是适应模型，即与2tX1ta和不独立，所以，这里的剩余不是我们所假设的tata，将其记作,将其分解为:tattttaaXa1122将上式代入AR(1)模型，得112211tttttXXXaa这就是ARMA(2,1)模型。322.ARMA(2,1)模型的基本假设在ARMA模型中，若tX中确实除了对1,tX2tX和1ta系外，在和已知的条件下对的依存关1tX2tX)4,3(jXjt和)3,2(jajt不存在相关关系，那么ta一定独立于)3,2(jajt当然也就独立于)4,3(jXjt,这就是ARMA(2,1)模型的基本假设。333.ARMA(2,1)模型的结构从模型112211tttttaaXXX中不难看出，ARMA(2,1)模型把tX分解成了独立的四个部分，所以，其结构是由一个AR(2)和一个MA(1)两部分构成的，具体地说，是由上述四部分构成的。344.相关序列的独立化过程将ARMA(2,1)模型如下变形：112211tttttaXXXa可见，ARMA(2,1)是通过从tX中消除tX对21,ttXX以及1ta的依赖性之后，使得相关序列tX转化成为独立序列ta，即它是一个使相关序列转化为独立序列的变换器。355.ARMA(2,1)与AR(1)的区别从模型形式看，ARMA(2,1)比AR(1)的项数多；从模型的动态性看，ARMA(2,1)比AR(1)具有更长的记忆；从计算ta所需的资料看，ARMA(2,1)需要用t期以前的,,21ttaa初期开始递，这就需要从归地计算出来，通常t＝0时的tata取序列的ta均值零；从参数估计来看，ARMA(2,1)比AR(1)困难得多。36二、ARMA(2，1)模型的非线性回归为了计算的值，必须知道的值，然而在动态的条件tX1ta1ta下，本身又取决于和,则有321,,tttXXX2tattttttttaaXXXXXX)(213221111211tttttaaXXX2213212112111上式是非线性的，那么估计参数时，只能用非线性最小二乘法，其基本思想就是在曲面上搜索使得剩余平方和最小的参数值，有计算程序，多次迭代即可。37三、ARMA(2，1)模型的其他特殊情形1.ARMA(1，1)当ARMA(2，1)中的系数时，有02ttttaaXX1121即为ARMA(1，1)模型。2.MA(1)