利用空间向量求空间角-教案

利用空间向量求空间角-教案2利用空间向量求空间角备课人：龙朝芬授课人：龙朝芬授课时间：2016年11月28日一、高考考纲要求：能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用．二、命题趋势：在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多.三、教学目标知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标3系，方向向量，法向量的魅力.四、教学重难点重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角；难点：将立体几何问题转化为向量问题.五、教学过程（一）空间角公式1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l，m的方向向量分别为a,b,异面直线l，m所成的角为，则coscos,ababab.2、线面角公式：设直线l为平面的斜线，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为l与所成的角，则sincos,ananan.mbal43、面面角公式：设1n，2n分别为平面、的法向量，二面角为，则12,nn或12,nn（需要根据具体情况判断相等或互补），其中121212cos,nnnnnn.（二）典例分析如图，已知：在直角梯形OABC中，//OABC，90AOC，SO面OABC，且1,2OSOCBCOA.求：（1）异面直线SA和OB所成的角的余弦值；（2）OS与面SAB所成角的正弦值；（3）二面角BASO的余弦值.OOOABCSna5解：如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O，(2,0,0)A，(1,1,0)B，(0,1,0)C，(0,0,1)S，于是我们有(2,0,1)SA，(1,1,0)AB，(1,1,0)OB，(0,0,1)OS，（1）210cos,552SAOBSAOBSAOB，所以异面直线SA和OB所成的角的余弦值为105.（2）设平面SAB的法向量(,,)nxyz，则0,0,nABnSA，即0,20.xyxz取1x，则1y，2z，所以(1,1,2)n，26sincos,316OSnOSnOSn.（3）由（2）知平面SAB的法向量1(1,1,2)n，又OC平面AOS，OC是平面AOS的法向量，令2(0,1,0)nOC，则有12121216cos,661nnnnnn.∴二面角BASO的余弦值为66.（三）巩固练习1、在长方体1111ABCDABCD中，2AB，11BCAA，点E、6F分别11AC，1AD的中点，求：（1）异面直线EF和CD所成的角的余弦值；（2）11DC与平面11ABC所成角的正弦值；（3）平面11ABC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值.解析：以D为原点，分别以射线DA，DC，1DD，为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz，由于2AB，11BCAA，所以(0,0,0)D，(0,2,0)C，1(,1,1)2E，11(,0,)22F，1(1,0,1)A，(1,2,0)B，1(0,2,1)C，1(0,0,1)D，则1(0,1,)2EF，(0,2,0)DC，11(1,2,0)AC，1(1,0,1)BC，11(0,2,0)DC.（1）25cos,5EFDCEFDCEFDC，∴异面直线EF和CD所成的角余弦值为255；7（2）设平面11ABC的法向量(,,)nxyz，则有则1110,0,nACnBC，即20,0.xyxz令2x，则1y，2z，所以(2,1,2)n，又设11DC与平面11ABC所成的角为，则11111121sincos,233DCnDCnDCn.（3）由（2）知平面11ABC的法向量1(2,1,2)n，又1DD平面ABCD，1DD是平面ABCD的法向量，令21(0,0,1)nDD，则12121222cos,313nnnnnn.故所成的锐二面角的余弦值为23.2、如图所示，四棱锥PABCD，ABC为边长为2的正三角形，3CD，1AD，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点，1PO，求：（1）异面直线AB与PC所成角的余弦值；（2）平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值.8解：（Ⅰ）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A−xyz，因为AD=1，CD=3，AC=2，所以AD⊥CD，∠DAC=π3，∴AD∥BC．(000)A，，，(310)B，，，(310)C，，，(010)D，，，31022O，，，31122P，，，则(310)AB，，，31122CP，，，∴12cos4||||22ABCPABCPABCP，，∴异面直线AB与PC所成角的余弦值为24．（Ⅱ）设平面PAB法向量为1n=(x1，y1，z1)，可得111113102230xyzxy，，9令11x，则1(133)n，，，又311(300)22DPDC，，，，，，设平面PCD法向量为2222()nxyz，，，可得22223102230xyzx，，令21y，则2n=1012，，，则121212105cos==||||35nnnnnn，．∴平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为10535．（四）课堂小结1．用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定对应线段的向量．2．合理建立空间直角坐标系(1)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即10坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点．(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系．[易错防范]1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．（五）课后作业三维设计——课时跟踪检测（四十八）