高中数学一轮复习双曲线

双曲线1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．※(2)另一种定义方式(见人教A版教材选修2－1P59例5)：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(e1)的轨迹叫做双曲线．定点F叫做双曲线的一个焦点，定直线l叫做双曲线的一条准线，常数e叫做双曲线的________．(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做____________．“离心率e＝2”是“双曲线为等轴双曲线”的______条件，且等轴双曲线两条渐近线互相______．一般可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．2．双曲线的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上(1)图形(2)标准方程y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)(3)范围x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a(4)中心原点O(0，0)(5)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)(6)对称轴x轴，y轴(7)焦点F1(0，－c)，F2(0，c)(8)焦距2c＝2a2＋b2(9)离心率(10)渐近线方程y＝±abx自查自纠：1．(1)绝对值＜焦点焦距(2)离心率(3)等轴双曲线充要垂直2．(2)x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)(5)A1(0，－a)，A2(0，a)(7)F1(－c，0)，F2(c，0)(9)e＝ca(e＞1)(10)y＝±bax与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是()A．x24－y2＝1B．x22－y2＝1C．x23－y23＝1D．x2－y22＝1解：椭圆x24＋y2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，因为双曲线过点P(2，1)，所以4a2－1b2＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是x22－y2＝1．故选B．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A．5B．5C．2D．2解：由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，所以5a2＝c2．所以e2＝c2a2＝5，所以e＝5．故选A．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1，3)B．(－1，3)C．(0，3)D．(0，3)解：因为方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，所以(m2＋n)·(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，所以焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，所以－1＜n＜3．故选A．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x27－y23＝1的焦距是____________．解：易知a2＝7，b2＝3，则c2＝a2＋b2＝7＋3＝10，即c＝10，则焦距2c＝210．故填210．(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是__________．解：因为双曲线的焦点F(c，0)到渐近线y＝±bax即bx±ay＝0的距离为|bc±0|a2＋b2＝bcc＝b，所以b＝32c，因此a2＝c2－b2＝c2－34c2＝14c2，a＝12c，e＝2．故填2．类型一双曲线的定义及标准方程(1)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A．若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A．x24－y212＝1B．x27－y29＝1C．x28－y28＝1D．x212－y24＝1解：因为渐近线y＝bax与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且（4－a）2＋b2＝4，解得a＝2，b2＝12，因此双曲线的标准方程为x24－y212＝1．故选A．(2)已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3，0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为____________．解：设动圆M的半径为r，则|MC|＝2＋r，|MA|＝r，所以|MC|－|MA|＝2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3，所以b2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．故填x2－y28＝1(x≤－1)．(3)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．解：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B．根据两圆外切的条件，有|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6．又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支，其中a＝1，c＝3，则b2＝8．故点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．故填x2－y28＝1(x≤－1)．点拨：①求双曲线的标准方程一般用待定系数法；②当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(A·B＜0)，这样可以简化运算．(1)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且双曲线经过点P(6，2)，则双曲线的方程为__________．解：由双曲线的渐近线方程为y＝±23x，可设双曲线方程为x29－y24＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点P(6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线的方程为34y2－13x2＝1．故填34y2－13x2＝1．(2)(2016·天津)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为()A．x24－y2＝1B．x2－y24＝1C．3x220－3y25＝1D．3x25－3y220＝1解：由题意得c＝5，ba＝12，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为x24－y2＝1．故选A．(3)(2016·河南模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．以上情况都有可能解：令双曲线的右焦点为F2，设以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的半径分别为r1，r2，两个圆的圆心分别为O1，O2．若P在双曲线左支上，则|O2O1|＝12|PF2|＝12(|PF1|＋2a)＝12|PF1|＋a＝r1＋r2，即圆心距为半径之和，两圆外切．若P在双曲线右支上，同理求得|O2O1|＝r1－r2，故此时，两圆内切．综上，两圆相切．故选B．类型二双曲线的离心率(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．解：双曲线的右顶点为A(a，0)，一条渐近线的方程为y＝bax，即bx－ay＝0，圆心A到此渐近线的距离d＝|ba－a×0|b2＋a2＝abc，因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin60°＝abc，即3b2＝abc，所以e＝23＝233．故填233．(2)已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1，2)C．(2，1＋2)D．(1，1＋2)解：若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF45°，在Rt△AFE中，|AF|＝b2a，|FE|＝a＋c，则b2aa＋c，即b2a2＋ac，即2a2－c2＋ac0，则e2－e－20，解得－1e2，又e1，则1e2，故选B．点拨：求双曲线离心率或其范围的常用方法：①求a及b或c的值，由e＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2求e．②列出含有a，b，c的齐次式(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．(1)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A．73B．54C．43D．53解：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知ba＝43，所以b2a2＝169．又b2＝c2－a2，所以c2－a2a2＝169，即e2－1＝169，所以e2＝259，所以e＝53．故选D．(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(1，2)C．(32，＋∞)D．(1，32)解：设双曲线的右顶点为C，则|CF|＝a＋c，把x＝－c代入双曲线的方程，有|AF|＝b2a，因为双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，所以|AF|＞|CF|，即b2a＞a＋c，即c2－a2a＞a＋c⇒e2－e－2＞0，解得e＞2．故选A．类型三双曲线的渐近线(1)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1()a0，b0的离心率为52，则C的渐近线方程为()A．y＝±14xB．y＝±13xC．y＝±12xD．y＝±x解：根据双曲线的性质可知e＝ca＝52，c2＝a2＋b2，联立可得b2＝a24，即ba＝12，故C的渐近线方程为y＝±12x．故选C．(2)(2016·蚌埠二模)已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，则双曲线C的离心率为()A．3B．6C．62或6D．3或62解：由已知得：当焦点在x轴上时，ba＝2，即b＝2a，则e＝ca＝a2＋b2a＝3；当焦点在y轴上时，ab＝2，即b＝22a，则e＝ca＝a2＋b2a＝62．故选D．点拨：本例考查双曲线中a，b，c的关系，以及双曲线的渐近线等知识．渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程．(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率e∈[2，2]，则其中一条渐近线与实轴夹角的取值范围是____________．解：因为e∈[2，2]，所以2≤ca≤2，2≤c2a2≤4，2≤a2＋b2a2≤4，1≤b2a2≤3，1≤ba≤3，得其中一条渐近线的倾斜角的取值范围为[π4，π3]，即它与实轴夹角的取值范围是[π4，π3]．故填[π4，π3]．(2)(2016·洛阳二模)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与直线x＝a2c分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是()A．(1，2)B．(2，2)C．(1，2)D．(2，＋∞)解：双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±bax，由y＝±bax，x＝a2c得x＝a2c，y＝±abc，不妨令A(a2c，abc)，B(a2c，－abc)．由60°＜∠AFB＜90°，得－1＜kFA＜－33，所以33＜abcc－a2c＜1，即33＜abc2－a2＜1．因为b2＝c2－a2，所以33＜ab＜1，即13＜a2b2＜1，所以1＜c2－a2a2＜3，即1＜e2－1＜3，解得2＜e＜2，故选B．类型四直线与双曲线(1)(2018·河南新乡二模)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若BA→＝2AF→，且|BF→|＝4，则双曲线C的方程为()A．x26－y25＝1B．x28－y212＝1C．x28－y24＝1D．x24－y26＝1解：：不妨设B(0，b)，由