信号与系统-信号与系统的频域分析

信号与系统的频域分析学习重点：•周期信号频谱的特点；•非周期信号的频谱函数；•信号的频带宽度；•傅氏变换的性质和应用；•系统的频率特性；•无失真传输条件；•采样定理及其应用；§3.1周期信号的分解与合成§3.2周期信号的频谱§3.3非周期信号的频谱§3.4傅里叶变换的性质§3.5周期信号的傅里叶变换§3.6连续系统的频域分析§3.7取样定理§3.8频域分析用于通信系统本章目录§3.1周期信号的分解与合成1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用收敛的正弦函数级数表示”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”一书中。§3.1周期信号的分解与合成狄里赫利（Dirichlet）条件条件1：在一周期内，有有限个间断点。条件2：在一周期内，有有限个极大值和极小值。条件3:在一周期内，信号绝对可积,即一、周期信号分解为三角级数1112,,TTtf基波角频率为周期为周期信号在满足狄氏条件时，可展成11n1n0)sincos()(ntnbtnaatf22d)(TTttf称为三角形式的傅里叶级数，其系数(1)TnttntfTb01dsin)(2直流分量TttfTa00d)(1余弦分量的幅度正弦分量的幅度nAn：n次谐波幅度：n次谐波初相角2n2nbaAn)arctan(nnnabnnAacosnnnAbsinn2)cos()(1n1n0ntnAatfTnttntfTa01dcos)(2余弦形式例3.1-1如图所示的周期矩形波，试求其傅里叶级数。解由于这里f(t)是奇函数，故有0d)(100TttfTa0dcos)(2221TTnttntfTa2011201221cos4dsin4dsin)(2TTTTnntnTAttnATttntfTb),5,3,1(π4nnA),6,4,2(0n所以f(t)的傅里叶级数为)5sin513sin31(sinπ4)(111tttAtf图1二.周期信号的复指数级数表示nF周期信号f(t)=f(t+nT)，满足狄氏条件时，可展成：tjnnneFtf1)(221)(1TTtjndtetfT其中：00aFnjnnnneFjbaF2njnnnneFjbaF2其中为各次谐波的幅度(n=1,2,3….)系数与三角形式傅立叶级数的关系：nF2nnAF例3.1-2对于周期矩形波，试求其指数表示式。解2T2T-jnde)(11ttfTFtn)5,3,1(j2)(21nnAjbann000aF所以)5,3,1(ej2A)(1jnntfntn图2关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为相位频谱图。~nA~n§3.2周期信号的频谱周期信号展开为傅氏级数时在不同频率点的振幅、相位随频率变化的图形。振幅频谱：所谓振幅频谱为以ω为横坐标，以振幅为纵坐标所画出的谱线图；描述傅氏级数振幅随频率变化的图形。相位频谱：为以ω为横坐标，以相位为纵坐标所得到的谱线图描述傅氏级数相位随频率变化的图形。3.2.1频谱的特点矩形波频谱图图4)5sin513sin31(sinπ4)(111tttAtf)2π3cos(31)2πcos(π411ttA图3•离散性：频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。•谐波性：频谱的每一条谱线只能出现在基波频率Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含有非Ω的谐波分量。•收敛性：频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。当nΩ→∞时，|Fn|→0。周期信号频谱的特点：对于周期矩形脉冲，在一个周期内为)2()2sin(TdeT11122-jn1nnAtAFtn2tA20t)(tf则复系数)2(SaT1nA图5其中Sa()形式如下。3.2.2周期矩形脉冲频谱与信号的带宽抽样函数：tttsin)(Sa1)0(Sa当时，Sa(t)=0)3,2,1(kkt图6图7Sa(t)：Fn：f(t)的双边谱周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传输过程中，要求一个传输系统能将这无穷多个正弦分量不失真地传输显然是不可能的。实际工作中，应要求传输系统能将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内，因而，常常将ω=0~这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。记为2)/(π2srad频带宽度（带宽）：)(1Hzf结论：信号的带宽与信号的持续时间（脉冲宽度）成反比。3.2.3周期信号的功率周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信号f(t)，无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为dttfTPTT)(1222ntjnneFtf1)(因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理，有设一周期信号f(t)，将其展开成复指数形式的傅里叶级数：傅里叶变换§3.3非周期信号的频谱ttfTFTTtnde)(122jn1ntnFtf1jne)(其复振幅ttfFTFTTtnde)(222jnn1当T趋于无穷大时，趋于无穷小，若上式两边同乘以T，有nF对于非周期信号，重复周期T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷小量dω，而离散频率nω1变成连续频率ω。在这种极限情况下，Fn趋于无穷小量，但可望趋于有限值，且为一个连续函数，通常记为F(jω)，即ttfFjFTTtnTTde)(lim2lim)(22jn1nnFTF2ttfFtde)()(j可得上式中，F(jω)称为f(t)的频谱密度函数反之对f(t)的傅里叶级数展开也可改写为如下形式ntnntnFFtf11jnjnee)(deFeFtftjtjnnnT)(21lim)(111常用信号的频谱函数门函数：)2(Sa)2()2sin(de)(22-jtFt21t20t)(tg图8矩形脉冲（门函数）的幅度谱和相位谱：图9冲激函数(t)：1de)()(-jttFt即：1)(t图3可见，冲激函数δ(t)的频谱是常数1。也就是说，δ(t)中包含了所有的频率分量，而各频率分量的频谱密度都相等。显然，信号δ(t)实际上是无法实现的。图10直流信号：)(π21图11指数信号：j1de)(0)j(tFt即：j1)(εett)0,0(e)(ttft图12符号函数的频谱：图13符号函数定义为：则j2)()0(1)0(1)sgn(Fttt阶跃信号：j1)(π)(F图14结论：f(t)为实偶函数，F()也为实偶函数；f(t)为奇函数，F()为纯虚函数；f(t)为非奇非偶函数，F()为复函数；非周期信号的频谱为连续谱；若信号在时域持续时间有限，则其频谱在频域延续到无限；信号的能量主要集中在低频分量；信号的带宽与脉冲宽度成反比，脉冲宽度越窄，其频带越宽。信号f(t)在1电阻上的能量满足能量定理d)(π21d)(22Fttf表3.1常用傅里叶变换对续表线性§3.4傅里叶变换的性质与应用如符号函数)(π2]j1)(π[21)(2)sgn(tt)()(),()(2211FtfFtf若)()()()(22112211FaFatfatfa则j2脉冲展缩与频带变化（尺度变换）)()(Ftf若)(1)(aFaatf则f(t)F(ω)尺度变换性质表明，信号的持续时间与其频带宽度成反比。在通信系统中，为了快速传输信号，对信号进行时域压缩，将以扩展频带为代价，故在实际应用中要权衡考虑。在尺度变换性质中，当a=-1时，有时域压缩，频域展宽；时域展宽，频域压缩。图15信号的延时与相位移动（延时特性）即信号时延后，其幅度谱不变，各分量相位变化。)()(Ftf若0j0)()(teFttf则因为)(je)()(FF故])(j[j00e)(e)(ttFF图16信号的调制与频谱搬移（调制定理）)()(Ftf若)()(0j0Fetft则)]()([21cos)(000FFttf图17频谱搬移的原理是将信号f(t)乘以载频信号cosω0t或sinω0t,从而得到f(t)cosω0t或f(t)sinω0t的信号。因为时-频对称性)(2)(),()(ftFFtf则若)(2)(,)(ftFtf则有为偶函数若例如，设有，求F(ω)。)2(2)(tSatf因)2()(Satg令=4，ωt，tω，则)(2)24(44gtSa图18即)()()2(24FgtSa说明Sa()函数（时域无限）对应的频谱是门函数（频域有限）。图19)2(Sa)2Sa()2Sa()(22F卷积定理例如)()()(ττtgtgtf)()(),()(2211FtfFtf设)()()()(2121FFtftf则则在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位，它将系统分析中的时域方法与频域方法紧密联系在一起。在时域分析中，求某线性系统的零状态响应时，若已知外加信号f(t)及系统的单位冲激响应h(t),则有)()()(thtftyf在频域分析中，若知道F(jω)=F［f(t)］，H(jω)=F［h(t)］，则据卷积性质可知)()()]([jFjHtyFf应用系统响应的频谱)()()()()()(HFYthtfty-jde)()(tthHt即系统响应的频谱等于输入信号频谱F()与系统频率特性H()的乘积。故因图20频域卷积定理)(*)(π21)()(2121FFtftf时域微分特性)()(Ftf若)(j)(Ftf则1)(t此性质表明，在时域中对信号f(t)求导数，对应于频域中用jω乘f(t)的频谱函数。如果应用此性质对微分方程两端求傅里叶变换，即可将微分方程变换成代数方程。从理论上讲，这就为微分方程的求解找到了一种新的方法。推广到f(t)的n阶导数，即)()()(jFjdttfdnnn例如，我们知道,利用时域微分性质显然有j)(t说明：时域积分特性)()(Ftf若d)(tf则0)(,j)(0FF0)(,j)()()0(π0FFFttfFFd)()0()(0时域积分性质多用于F(0)=0的情况，而F(0)=0表明f(t)的频谱函数中直流分量的频谱密度为零。表3.2傅里叶变换的性质ntnFtf1jne)(对周期信号f(t)取傅里叶变换则]e[)(1jnntnFFF)(π21nnFn§3.5周期信号的傅里叶变换设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分析，可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即图21正、余弦信号的频谱)]()([jsin)]()([cos000000