非周期信号的频域分析

连续非周期信号的频谱•从傅立叶级数到傅立叶变换•频谱函数与频谱密度函数的区别•傅里叶反变换•非周期矩形脉冲信号的频谱分析1．从傅立叶级数到傅立叶变换讨论周期T增加对离散谱的影响：周期为T宽度为t的周期矩形脉冲的Fourier系数为)2(Sa0ttnTACnnTnTTCfClimlim0)(jFdtetfTCTTtnTn22j0)(1dtetfTdtetfTCtTTTtnTTnTj22j)(1lim)(1limlim0dtetfTCjFtnTj)(lim)(物理意义:F(j)是单位频率所具有的信号频谱，称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。2.频谱函数与频谱密度函数的区别(1)周期信号的频谱为离散频谱，非周期信号的频谱为连续频谱。(2)周期信号的频谱为Cn的分布，表示每个谐波分量的复振幅；非周期信号的频谱为TCn的分布，表示每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。两者关系：nTTCjFlim)(0)(nnTjFC)(lim)(tftfTTtnTeC0j=nnlim—tnTejF0j0=n2)(lim—dejFtftj)(21)(物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为，复振幅为[F()/2]d的复指数信号ejt的线性组合。T,记n0=,0=2/T=d,3.傅里叶反变换dejFtftj)(21)(dtetfjFtj)()(傅立叶正变换：傅立叶反变换：符号表示：)]([)()]([)(1jFFtftfFjF)()(jFtfF或狄里赫莱条件狄里赫莱条件是充分不必要条件（1）非周期信号在无限区间上绝对可积（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值和最小值。（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点，且这些点必须是有限值。dttf)([例题]试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数2t2ttA)(tf[解]非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为2/||02/||)(ttttAtf，，由傅立叶正变换定义式，可得dteAdtetfjFtt22jj)()(tt)2(ttSaAt2t2At)(F分析：2.周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的连续频谱等间隔取样求得3.信号在时域有限，则在频域将无限延续。4.信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。5.脉冲宽度t越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽。1.非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。常见连续时间信号的频谱•常见非周期信号的频谱(频谱密度)•单边指数信号•双边指数信号e|t|•单位冲激信号(t)•直流信号•符号函数信号•单位阶跃信号u(t)•常见周期信号的频谱密度•虚指数信号•正弦型信号单位冲激序列1.常见非周期信号的频谱(1)单边指数信号，，0)()(tuetftdtetfjFtj)()(幅度频谱为22)(aAjF相位频谱为)()(aarctgdteettj0jajaet10)()j(单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱t01)(tf0/1)(F0)(2/2/(2)双边指数信号e-|t|•幅度频谱为tdtetdttfjFtcos2cos)(2)(00222)(aajF0)(222220)cossin(2aaatatet相位频谱为(3)单位冲激信号δ(t)单位冲激信号及其频谱dtetdtetftFtjtj)()()]([10t)(t)1(01)(F(4)直流信号直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限的方法求出其傅里叶变换。]1[lim]1[|t|0eFF]2[lim220)(2000]2[lim2202)(2222arctgd对照冲激、直流频谱曲线可看出:0t1)(tf0)2()(F时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。直流信号及其频谱（5）符号函数信号符号函数定义为010001)sgn(tttt])[sgn(lim)][sgn(0tetFtFdteedteeetFtjttjtt00)1(])[sgn(0)(0)(ttjttjjejejj11j2)(F02/2/)(0符号函数的幅度频谱和相位频谱(6)单位阶跃信号u(t)单位阶跃信号及其频谱0t)(tu1)(F0)(2/2/)(0)]()([21)]()([21)(tututututu)sgn(2121tjtuF1)()]([2常见周期信号的频谱)(0jtet)(21jdtet由)(2][0)j(j00dteeFtt得)(2][0)j(j-00dteeFtt(1)虚指数信号同理:)2(00)(F虚指数信号的频谱（2）正弦型信号)]()([)(21cos00000tjtjeettt0cos100)()(0)(F余弦信号及其频谱函数)]()([)(21sin00000jeejttjtjtt0sin100)()(0)(F0)(2/2/正弦信号及其频谱函数（3）一般周期信号•两边同取傅立叶变换tnnTeCtf0jn)(][)()]([0jntnnTeCFjFtfF)(2)]([0nCtfFnnT)2(0T][0jntnneFC（4）单位冲激序列•因为T(t)为周期信号，先将其展开为指数形式傅立叶级数：ntnTeTnTtt0jn1)()()(12)]([0nTtFnT)(00nnnTnTtt)()(000)]([tFT)(00TT)(tT)1(t单位冲激序列及其频谱函数•1.线性特性•2.共轭对称特性•3.对称互易特性•4.展缩特性•5.时移特性•6.频移特性•7.时域卷积特性•8.频域卷积特性•9.时域微分特性•10.积分特性•11.频域微分特性•12.能量定理傅里叶变换的基本性质1.线性特性，；若)()()()(2211jFtfjFtfFF)()()()(2121bFaFtbftaf则•其中a和b均为常数。2.共轭对称特性)()(jFtf若)(*)(*jFtf则•当f(t)为是实函数时，有•|F(j)|=|F(j)|，()=())(*)(*jFtf)()()(jejFjF)()(jjFjFIR)()(),()(jFjFjFjFIIRRF(j)为复数，可以表示为3．时移特性)()(jFtf若0t-j0)()(ejFttf则式中t0为任意实数证明：dtettfttfFtj-00)()]([令x=t-t0，则dx=dt，代入上式可得dxexfttfF)xt(j-00)()]([0t-j)(ejF信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。[例1]试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(j)。0A2tt2t)(tf0At)(1tftT•[解]无延时且宽度为t的矩形脉冲信号f(t)如右图，)2()(ttSaAjFTj1)()(-ejFjF)()(1TtftfTj-)2(tteSaA因为故，由延时特性可得其对应的频谱函数为4.展缩特性•证明:)()(jFtf若)(1)(ajFaatf则dteatfatfFtj-)()]([)(1)(1)]([ajFadxexfaatfFxaj-令x=at，则dx=adt，代入上式可得时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩。0tA2)2(2Ftt0tA)(Ft2t2)2(tftA4t4t)(21tfttt0)(tft2t2t0tA21)21(21Ft4t4例：尺度变换变换后语音信号的变化f(t)f(1.5t)f(0.5t)00.050.10.150.20.250.30.350.4-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5一段语音信号(“对了”)。抽样频率=22050Hzf(t)f(t/2)f(2t))(tf2t2t0AttE)(Ft2t4t2t4t6t2)(tF20A)(f20200A5.互易对称特性)()(jFtf若)(2)(fjtF则6.频移特性（调制定理）若f(t)F(j))]([)(0j0jFetftdteetfetfFtttj-jj00)(])([式中0为任意实数证明：由傅立叶变换定义有dtetft)-j(-0)()]([0jF则]cos)([0ttfF])([21])([2100j-jttetfFetfF信号f(t)与余弦信号cos0t相乘后，其频谱是将原来信号频谱向左右搬移0，幅度减半。]sin)([0ttfF)]([21)]([2100jFjF)]([2)]([200jFjjFj同理])([21])([2100j-jttetfFjetfFj[例2]试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0t相乘后信号的频谱函数。)2()(ttSaAjF]cos)([0ttfF)]([21)]([2100jFjF应用频移特性可得[解]已知宽度为t的矩形脉冲信号对应的频谱函数为]}2([]2([{21)0)0ttttSaASaA0)(jF000)(jF0A2/tt2/t)(tf2/tAt2/tttf0cos)(7.时域微分特性•则)()()(jFjdttdf)()()(jFjdttfdnnn•若f(t)F(j)[例3]试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。•[解])2()2()('tttAtAtf2j2j)]('[tt-AeAetfF)()(jFj)2()2sin(2)(tttSaAAjF由时域微分特性)2sin(2tjA因此有0(A)2/tt2/t)('tf(A))(tf2t2t0At8.积分特性•若信号不存在直流分量，即F(0)=0)()0()(1)(ttFjFjdft)(1)(ttjFjdft•则•若f(t)F(j)•则9.频域微分特性ddFtft)j(j)(•则•若f(t)F(j)nnnnddFtft)j(j)(dtetfjFtj-)