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弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1MT-2。5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。7、已知一点处的应力分量x100MPa，y50MPa，xy1050MPa，则主应力1150MPa，20MPa，13516。8、已知一点处的应力分量，x200MPa，y0MPa，xy400MPa，则主应力1512MPa，2-312MPa，1-37°57′。9、已知一点处的应力分量，x2000MPa，y1000MPa，xy400MPa，则主应力11052MPa，2-2052MPa，1-82°32′。10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。19、在有限单元法中，单元的形函数Ni在i结点Ni=1；在其他结点Ni=0及∑Ni=1。20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”）1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（√）5、如果某一问题中，zzxzy0，只存在平面应力分量x，y，xy，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，此问题是平面应力问题。（√）6、如果某一问题中，zzxzy0，只存在平面应变分量x，y，xy，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，此问题是平面应变问题。（√）9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（√）10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（√）14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（√）15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（√）三、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。（1）xAxBy，yCxDy，xyExFy；（）x(2y2)，yB(x22)，xyCxy；2Axy其中，A，B，C，D，E，F为常数。xyx0xy解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：；（1）在区域内的平衡微分方程yxy0yx22（2）在区域内的相容方程y2xy0；（3）在边界上的应力边界条件x2lxmyxsmylxysffxys；（4）对于多连体的位移单值条件。s（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量xQxy2C1x3，y32C2xy2，xyC2y3C3x2y，体力不计，Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程xyx0xyyxy0yx得Qy23C1x23C2y2C3x203C2xy2C3xy0即223C1C3xQ3C2y0由x，y的任意性，得3C1C30Q3C203C22C30QQQ由此解得，C1，C2，C36323、已知应力分量xq，yq，xy0，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。解：将已知应力分量可知，已知应力分量xxq，yq，xy0，代入平衡微分方程xyxX0xyyxyyY0xq，yq，xy0一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程：2222(y)2(yx)2(1)xyyxxxy将已知应力分量xq，yq，xy0代入上式，可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程：2222xyy2(xy)x2(yx)111xy将已知应力分量xq，yq，xy0代入上式，可知满足相容方程。4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。（1）xAxy，yBy3，xyCDy2；（2）xAy2，yBx2y，xyCxy；（3）x0，y0，xyCxy；其中，A，B，C，D为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即222xyxyy2x2xy将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。（2）2A2ByC（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则x0，y0，xy0（1分）。5、证明应力函数by2能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，b0）。h/2xOh/2l/2l/2y解：将应力函数by2代入相容方程444x42x2y2y40可知，所给应力函数by2能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为222xy22b，yx20，xyxy0对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，yh0，m1，fx(xy)0，fy(y)h0；，lh2y22y下边，yh，l0，m1，fx(xy)h0，fy(y)h0；2y2y2左边，xll1，m0，fx(x)l2b，fy(xy)l0；，222xx右边，xl，l1，m0，fx(x)l2b，fy(xy)l0。2x22x可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数by2能解决矩形板在x方向受均布拉力（b0）和均布压力（b0）的问题。6、证明应力函数axy能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，a0）。h/2Oxh/2l/2l/2y解：将应力函数axy代入相容方程444x42x2y2y40可知，所给应力函数axy能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为222xy20，yx20，xyxya对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，yh0，m1，fx(xy)a，fy(y)h0；，lh222yy下边，yh，l0，m1，fx(xy)ha，fy(y)h0；2y2y2左边，xl1，m0，fx(x)0，fy(xy)a；，lll222xx右边，xl，l1，m0，fx(x)l0，fy(xy)la。2x22x可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数axy能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。Ox解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设bx0。由此可知gq220xy将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式x,yf1(x)yf2(x)y将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得yd4f1(x)d4f2(x)0dx4dx4这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即d4f1(x)0，d4f2(x)0dx4dx4这两个方程要求f1(x)Ax3Bx2CxI，f2(x)Dx3Ex2JxK代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得y(Ax3Bx2Cx)Dx3Ex2对应应力分量为2xy202y2y(6Ax2B)6Dx2Egyx2xy3Ax22BxCxy以上常数可以根据边界条件确定。左边，x0，l1，m0，沿y方向无面力，所以有(xy)x0C0右边，xb，l1，m0，沿y方向的面力为q，所以有(xy)xb3Ab22Bbq上边，y0，l0，m1，没有水平面力，这就要求xy在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即b0将xy的表达式代入，并考虑到C=0，则有(xy)y0dx0b22Bx)dxAx3Bx20bAb3Bb20(3Ax0bxy)y00dx0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求而(y在这部分边界上0合成的主矢量和主矩均为零，即by)y0dxby)y0xdx0(0，(00将y的表达式代入，则有b2E)dx3Dx22Ex0b3Db22Eb0(6Dx0b2E)xdx2Dx3Ex20b2Db3Eb20(6Dx0由此可得A应力分量为x0,qqb2，B，C0，D0，E0by2qy13xgy,xyqx3x2bbbb虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的。8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为fxV，xV22fyV，yV，，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，xy22yx2xy，试导出相应的相容方程。xy证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量x，y，xy应当满足平衡微分方程xyxV0xyx分）（1yxyVyx0y还应满足相容方程22x2y2xy22x2y2xy1fxfy（对于平面应力问题）xy1fxfy（对于平面应变问题）1xy并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。首先考察平衡微分方程。将其改写为Vyxx0xyVxyy0yx这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为xVyxxy根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x，y），使得AAxV，yxyx同样，将第二个方程改写为yVyx（1分）yx可见也一定存在某一函数B（x，y），使得BByV，yxxy由此得ABxy因而又一定存在某一函数x,y，使得A，Byx代入以上各式，得应力分量222xy2V，yx2V，xyxy为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数x,y必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得222222x2y2y2Vx2V1x2y2V22222222x2y2y2x22x2y2V1x2y2V简写为4(1)2V将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得22221222VVx2y2yx2Vx2y212222221222y2Vy2Vx2y2y2x2x21x2简写为4122V19、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次的应力函数求解。Oxgy解：纯三次的应力函数为ax3bx2ycxy2dy3相应的应力分量表达式为222xy2xfx2cx6dy,yx2yfy6ax2bygy,xyxy2bx2cy这些应力分量是满足