江苏省2016届高三高考数学：保值(倍值)区间题型探究(PDF版)

保值(倍值)区间问题基本概念保值区间比较常见的一个定义是：对于区间[,]ab，若函数()fx同时满足下列两个条件：①函数()fx在[,]ab上是单调函数；②函数()fx当定义域为[,]ab时，值域也为[,]ab，则称区间[,]ab为函数()fx的“保值区间”．对于函数xfy，若存在区间ba,，当xba,时，xf的值域为kbka,(k＞0），则称xfy为k倍值函数，区间[,]ab为函数()fx的“倍值区间”．实际上，在具体的题目中，保值区间的概念会有不同的定义，在部分题目中，并不会提到“保值区间”这个概念，甚至都不会提出“单调”这个条件。那么我们在做相应的题目的时候，就要按照实际具体做好分析了。解题思路一般此类问题有三种情况：1、函数在定义域上单调增；2、函数在定义域上单调减；3函数只在部分区间上单调，在整个定义域上不具有单调性。需要注意的是，如果能画出函数图像的简图，那对于解决此类题目来说，帮助十分巨大，所以画图能力一定要比较强。此类问题实际上是有“不动点”、“稳定点”的背景的，但不属于高考大纲内容要求，本文不涉及此概念，有兴趣的可以自行查阅相关资料。一、函数在定义域上单调增既然函数在定义域上单调增，那么在区间ba,上必然是单调增的，而值域是ba,，则得到bbfaaf，继而可以得到xxf在定义域内有两个不同的解ba,，再利用函数零点问题的判断方法去处理即可。当然，如果考量几何意义，我们会发现，实际上就是xfy和xy在定义域内有两个不同的交点，这个时候再考虑求切线找临界的方法去处理就可以了。二、函数在定义域上单调减同上，既然在定义域内单调减，那么在区间ba,内必然是单调减的，而值域是ba,，则可以得到abfbaf，需要注意的是，这种形式的就不能再构造函数了，或者说暂时还不能看出如何构造。对于此类式子的处理方法，基本就是两个式子做减法约分就能得到等量关系了，如果还发现不了，再试试加法。此时考量几何意义，会发现abba,,,都在函数xfy上，即xf上存在两个关于xy对称的点。三、函数在定义域上不具有单调性，在部分区间上具有单调性此类题目一般分两种情况：1、可以通过题目所给的条件，不断的通过必要条件缩小ba,的范围，继而能够判断出在ba,上的单调性，个别情形下，需要分类讨论；2、如果通过必要条件依然无法判断出区间上的单调性，那就只有分类讨论处理了。例题讲解例1、函数22()1aaxyax（0a）的定义域和值域都是,mn，则nm的最大值为【解析】xaaay211，显然，函数的自然定义域是,00,，那么自然就有nm,同号（注意，类似结论在此类题目里特别常见），而当nm,同号时，该函数在区间nm,上都是单调增的，故可得nnaaammaaa221111，即xxaaa211有两个同号的解。化简可得01122axaax，方程的两个解即是nm,。显然，若存在两个解，则有1mn，必然同号。12341222aaaaa，当0时，即符合题目要求，此时由求根公式2121aaaamn，不难得到max34，所以最后答案为332变式一、已知关于x的函数2(1)()()txtfxtRx的定义域为D，若存在区间[,]abD使得fx的值域也是[,]ab，则当t变化时，ba的最大值为.【解析】同理，首先观察到函数22(1)()1txttfxtxx为各象限内的增函数；则有ba,同号，且有：22(1)()(1)tatfaaatbtfbbb,得到2(1)txtfxxx，则2210xtxt.有两个不同的同号解，显然若是有两个不同解，则必然同号。那么：22121212()()4baxxxxxx21423()3333t.（本质上，例2跟例1是同一道题目，此处的t与a是互为负倒数的）变式二、（2007年全国高中数学联赛陕西初赛试题)己知函数xy21log的定义域为ba,,值域为2,0,则区间ba,长度的最大值与最小值的差为.【解析】函数图像如图当值域为2,0时，定义域长度最小时是1,41，最长时是4,41，故差是3例2、若函数3)(xmxf的定义域为ba,，值域为ba,，则m的取值范围是__________.【解析】观察得到函数()fx在区间[,]ab为减函数，则有：()3afbmb①()3bfama②由①②得到：33mabba③；33abab④；233mabab⑤；令3,3tasb，即有223,3atbs；代入④得到22tsts，即1ts，其中01ts.那么代入⑤得到2222265mtststs222(1)5224ssss2192()22s；由01ts可知112s，利用二次函数图象可知9242m，即924m.变式二、(1997年第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)当1a时,若函数23212xxxf的定义域和值域都是a,1则a=..【解析】:显然函数在a,1单调增，可得aaaaff2321112，解得3a或1a（舍），得3a变式三、若函数yfxxD同时满足下列条件：①fx为D上单调函数；②存在区间[,]abD，使fx在[,]ab上的值域为[,]ab；则yfx叫做闭函数.若函数2ykx是闭函数，求实数k的取值范围是．【解析】首先，观察到函数2ykx为定义域内单调增函数；则有：222faakafxxkxfbbkb在[,]ab内有两个互异实根.亦即：方程2xxk在[,]ab内有两个互异实根12yx与2yxk的图像有两个不同的交点；画出图像：得到当直线的纵截距9[2,)4k时，满足题意，从而得到9(,2]4k.变式四、函数yfx的定义域为D，若满足：①fx为D上单调函数；②存在区间[,]abD，使fx在[,]ab上的值域为[,]ba；则yfx叫做对称函数.现有2yxk是对称函数，那么实数k的取值范围是．【分析】首先，观察到函数2yxk为定义域内单调减函数；则有：222faakafxxkxfbbkb在[,]ab内有两个互异实根.亦即：方程2xxk在[,]ab内有两个互异实根12yx与2yxk的图像有两个不同的交点；画出图像：得到当直线的纵截距9[2,)4k时，满足题意.变式五、若函数1fxxm在区间,ab上的值域为,122abba,则实数m的取值范围为________.【解析】首先，观察到函数1fxxm为定义域内单调增函数；则有：121212afaamxfxxmbfbbm在1,上有两个不同的根；利用图像，再转化为函数1yx和2xym有两个交点，利用图像：首先，12m时，过1,0点与曲线有两个交点；其次，考虑相切的临界情况，可利用平方后二次函数的0得到0m；(避免求导).则得到1(0,]2m.代数运算，令tx1换元转化为关于t的一元二次方程在,0上有两个不相等的实根去解决也可以。例3、(2004年江苏省高考试题)设函数xxxf1，区间babaM,，集合MxxfyyN,，则使NM成立的实数对ba,有个。(A)0个(B)1个(C)2个(D)无数多个【解析】:(法一)易得函数xf是定义在R上的奇函数。当0x时，1111xxxxfxf在,0上单调减，又xf连续，可得xf在R上单调减。abfbafabbbaa11，相乘可得ababab111110baorab，0ba，这与ba矛盾，选A。(法二)画出函数图像如图函数单调减，且显然不可能存在两个点关于xy对称，即不存在保值区间，选A。变式一、函数21xfxxRx，区间,Mabab其中，,NyyfxxM则使MN成立的区间,ab有个.【解析】：方法一、同上分析可得xf在R上单调增，那么有bbfaaf，xxxxf12，可得该方程有3个解分别为0,1，即存在这样的三个区间1,1,1,0,0,1。方法二、画出函数图像，与xy相交于三点。变式二、(2011年全国高中数学联赛湖北预赛试题)已知函数222xxxf的定义域为ba,，值域为ba2,2，则符合条件的数组ba,为.【解析】函数值域为,1，显然有12a，画出函数图像如图，答案为22,21121ba时，xf单调减，abbbaa22222222，作差约分可得22ba，显然不成立ba121时，xf在1,a上单调减，b,1上单调增，afxf211min，4521f，bfb,45max22222284)(85321bbb，舍，舍22,21,baba1时，单调增，可得babbbaaa22222222解得2222ba，不符合综上22,21,ba例4、若函数xaxf1)(的定义域与值域均为区间nm,（nm），求实数a的取值范围【解析】函数0,10,1xxaxxaxf在定义域上是不具有单调性的，此时便需要分析必要条件了。函数定义域为,00,，那么可得nm,必然同号。当0,nm时，xf单调增xxaxf1即012axx有两个不同的正根。200aa当0,nm时，xf单调减mnanma11，作差可得mnmnmn1mn，反代可得0a,20a变式一、若函数1()1,gxx是否存在形如,()abab的保值区间？若存在，求出该区间，若不存在，请说明理由.【解析】本题建议画出函数图像来辅助解题，否则对于应该在何处分类讨论将无从下手函数在0x处无意义，故ba,同号，又函数值域为,0，,0,ba，故0a，ba,0，ba,1，所以10ba或ba1当10ba时，11xxg，单调减abba1111，作差可得1ab，矛盾。当1ab时，xxg11，单调增，但此时1xg恒成立，故不可能存在这样的ba,综上，不存在这样的保值区间变式二、函数12xy的定义域与值域均为ba,，则ba()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】函数自然值域为,0，所以必然有ba0画出函数图像如图xf在,0单调增，所以baba1212，即xx12，通过试根可得仅有两个解分别为0和1，可得10ba1ba故选(A).变式三、已知函数xxf11)(，若存在实数)(,baba使得)(xf的定义域是ba,，值域是),0(,Rmmmbma，则实数m的取值范围为__