九年级数学三角形内切圆

初三数学直线与圆的位置关系切线及三角形内切圆知识精讲一.本周教学内容：直线与圆的位置关系，切线及三角形内切圆［学习目标］1.直线为l，⊙O的半径为r，圆心到直线的距离为d。（1）直线l与⊙O相离dr，无公共点；（2）直线l与⊙O相切dr，唯一公共点；（3）直线l与⊙O相交dr，两公共点。注意：①由直线与圆的位置关系数量关系反之，数量关系位置关系；②直线与圆的位置关系，d，r数量关系，公共点个数三者互相转化。2.重要公式：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB边上的高，则：1212ACBCABCD··即：AC·BC＝AB·CD（是求斜边上高的常用方法）3.切线的判定方法①定义法（不常用），即：唯一公共点；②数量关系推理法，即dr；③判定定理：垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。4.切线的性质：①与判定均为互逆定理；②其中性质定理及推论要熟练掌握。实际上①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心；任意知道两个就能推出第三个。5.作图：作和已知三角形各边都相切的圆。关键找内心，（各内角平分线交点）和半径。6.与三角形各边都相切的圆叫三角形内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形。与多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。7.三角形的内切圆、圆心是角平分线交点，半径是圆心到三边的距离。三角形的外接圆，圆心是三边中垂线交点，半径是圆心到三个顶点的距离。例1.已知半径为3的⊙O上一点P和圆外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ和圆的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.位置不定解：∵OP＝3，PQ＝4，OQ＝5，∴OPPQOQ222，∴△OPQ是直角三角形，且∠OPQ＝90°，∴PQ⊥OP。即圆心O到PQ的距离等于圆的半径。∴PQ和圆的位置关系相切，故选B。点拨：在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时，通过已有的知识进行推证。本题也可以通过切线的判定定理求解，即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。例2.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O为AB上一点，AO＝m，⊙O的半径r12，问m在什么范围内取值时，AC与圆：（1）相离；（2）相切；（3）相交。点悟：要判定直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离与半径的大小。解：如图所示，过O作OD⊥AC垂足为D，∵∠°∠°AB9060，∴ODAOm·°sin6032（1）当ODr，即3212m，也即m33时，则AC与⊙O相离；（2）当ODr，即3212m，也即m33时，AC与⊙O相切；（3）当ODr，即3212m，也即033m时，AC与⊙O相交。例3.已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，FE：FD＝4：3。求证：AF＝DF；证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC。∵∠B＝∠CAE，∴∠BAD＋∠B＝∠DAC＋∠CAE∵∠ADE＝∠BAD＋∠B，∴∠ADE＝∠DAE，∴EA＝ED∵DE是半圆C的直径，∴∠DFE＝90°∴AF＝DF例4.已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线。点悟：要证CD是⊙O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。证明：连结OD。∵AD∥OC，∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD∴∠COB＝∠COD∵CO为公用边，OD＝OB∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC∵BC是切线，AB是直径，∴∠B＝90°，∠ODC＝90°，∴CD是⊙O的切线。点拨：辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。例5.如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D。求证：AC与⊙O相切。点悟：显然AC与⊙O的公共点没有确定，故用“d＝r”证之。而AB与⊙O切于D点，可连结OD，则OD⊥AB。证明：连结OD、OA。过O作OE⊥AC，垂足为E。∵AB＝AC，O为BC的中点，∴∠BAO＝∠CAO又∵AB切⊙O于D点，∴OD⊥AB，又OE⊥AC，∴OE＝OD，∴AC与⊙O相切。点拨：此题用了切线的性质定理，同时又用了切线的判定方法“d＝r”。例6.已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。点悟：要证PC＝CD，可证它们所对的角等，即证∠P＝∠CDP，又OA⊥OB，故可利用同角（或等角）的余角相等证题。证明：连结OD，则OD⊥CE。∴∠EDA＋∠ODA＝90°∵OA⊥OB∴∠A＋∠P＝90°，又∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A，∠P＝∠EDA∵∠EDA＝∠CDP，∴∠P＝∠CDP，∴PC＝CD点拨：在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。例7.在△ABC中，∠A＝70°，点O是内心，求∠BOC的度数。点悟：已知O是内心，由内心的概念可知OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线。解：在△ABC中，∠A＝70°，∴∠∠°°°ABCACB18070110∵O是△ABC的内心∴∠∠，OBCABC12∠∠OCBACB12。∴∠∠∠∠°OBCOCBABCACB1255()∴∠°°°BOC18055125例8.△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABC的内切圆的半径长。解析：过点A作AD⊥BC于D，则AD为∠ABC的平分线。设I为△ABC的内心，内切圆⊙I分别切三边于D、E、F，则I在AD上，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴AD＝4连结IE，则IE⊥AC，设⊙I半径为x，△∽△AIEACDIEDCAIAC即xx345解得xABC3232，即△内切圆半径长为例9.任意△ABC中内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，求证：△DEF是锐角三角形。证明：如图所示，连结FI、EI，∵⊙I与AB、AC切于点F、E∴∠IFA＝∠IEA＝90°∴∠°°°∠°∠EIFAA3609090180∴∠∠°∠EDFEIFA129012∵0180°∠°A，∴01290°∠∠°A∴∠EDF为锐角。同理可证∠DFE、∠DEF都是锐角。∴△DEF是锐角三角形。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题：1.已知⊙O的半径rcm2，直线l与圆O的距离dcm3，则直线l与圆的位置关系（）A.相交B.相切C.相离D.位置不确定2.已知⊙O的半径R3，直线l和点O距离为d，如果直线与⊙O有公共点，那么（）A.d3B.d3C.d3D.d33.AB是⊙O的切线，下列条件能判定AB⊥CD的是（）A.AB与⊙O相切于直线CD上的点CB.CD经过圆心OC.CD是直线D.AB与⊙O切于C，CD过圆心O4.已知AB是⊙O的直径，CB与⊙O切于点B，AC＝2AB，则（）A.∠ACB＝60°B.∠ACB＝30°C.∠ACB＝45°D.∠BAC＝30°5.等边三角形外接圆半径、内切圆半径及三角形高的比是（）A.2：1：3B.3：2：4C.3：2：3D.1：2：3二、填空题：6.已知⊙O的直径为12cm，如果圆心O到直线l的距离为5.5cm，那么直线l与⊙O有__________个公共点。7.过圆上一点可作圆的__________条切线，过圆外一点，可作圆的__________条切线，过__________点，不存在圆的切线。8.在⊙O中，AD是直径，AB是弦，过点D作切线交AB的延长线于C，如果AB＝BC，则∠ADB＝__________。9.在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，则此三角形的内切圆的半径__________。10.I为△ABC的内心，∠A＝60°，则∠BIC＝__________。三、解答题：11.已知等边△ABC的边长为2，以A为圆心，以r为半径作圆，当r为何值时⊙A与BC相交？12.如图，已知AD为⊙O的直径，BC与⊙O相切于点D，AB、AC分别交⊙O于E、F，求证：AE·AB＝AF·AC。13.如图，在⊙O上，以O'为圆心的圆交⊙O于A、B，⊙O的弦OC交⊙O'于D，求证：D为△ABC的内心。[参考答案]一、选择题：1.A2.B3.D4.B5.A二、填空题：6.两7.1，2，圆内8.45°9.210.120°三、解答题：11.作△ABC的高AD，求出AD3∴当r3时，⊙A与BC相交12.证明：连结EF、EDADAEDBCADBAFEADEADEABDADEB是直径∠°为切线∠°则∠∠△∽△∠∠9090∠∠∠∠△∽△AEFBEAFCABAFEABCAEAFACABAEABAFAC··13.连结O'A，O'B，AD⊙O中，OAOBOAOBOCAOCBOCACB'''''''∠∠平分∠⊙中，∠∠∠∠∠∠平分∠OBODDABBOCCABCABDABADCAB'''22∴点D为△ABC的内心。