二阶系统的性能指标

一、二阶系统传递函数的标准形式二阶系统的闭环传递函数写成标准形式为：2222)()(nnnsssRsC式中，为阻尼比；n为无阻尼自振频率。所以，二阶系统的特征方程为：022nnss由上式解得二阶系统的二个特征根（即闭环极点）为：22.11nnjs随着阻尼比取值的不同，二阶系统的特征根（即闭环极点）也不相同。二、单位阶跃函数作用下二阶系统的过渡过程（针对欠阻尼状态，10）令)(1)(ttr，则有ssR1)(，二阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为：2222222)()(1))((2112)(dnddndnndndnnnnnssssjsjsssssssC式中，21nd为有阻尼自振频率对上式进行反拉氏变换，得：)sin(11)sin1(cos1sincos1)(22tettetetetcdtddtdtdndtnnnn式中，21arctg由上式看出，对应10时的过渡过程，)(tc为衰减的正弦振荡曲线。其衰减速度取决角的定义于n值的大小，其衰减振荡的频率便是有阻尼自振频率d，即衰减振荡的周期为：2122nddT三、二阶系统的性能指标1．上升时间tr：上升时间是响应曲线由零上升到稳态值所需要的时间。根据定义，当rtt时，1)(rtc。即0sin1cos2rdrdtt或nnrdttg21，)(tgttgrd所以，上升时间为：21nrt2．峰值时间tp：过渡过程曲线达到第一个峰值所需的时间。tgttgdttdcpdttp)(0)(（,3,2,,0pdt）由于峰值时间tp是过渡过程曲线达到第一个峰值所需的时间，故取pdt即21ndpt3．最大超调量p最大超调量为：%100)()()(cctcpp%100%100)sin1(cos%100)sin1(cos2122eetteptpdpdtpnpn式中，)(ptc为过渡过程曲线第一次达到的最大输出值；)(c为过渡过程的稳态值（)(c=1）。4．过渡过程时间ts：在过渡过程的稳态线上，用稳态值的百分数（通常取=5%或=2%）作一个允许误差范围，进入允许误差范围所对应的时间叫～。)1sin(11)(22arctgtetcdtn从上式看出，211tne是此时系统过渡过程)(tc的包络线方程。即过渡过程)(tc总是包含在一对包络线内，包络线的时间常数为n1。根据过渡过程时间的定义，可近似认为就是包络线衰减到区域所需的时间，则有：)11ln1(ln1122nstten若取%5，并忽略211ln，则得：nst3若取%2，并忽略211ln，则得：nst4二阶系统单位阶跃响应的一对包络线