数学基础常用函数

第一部分数学基础§0-1常用函数—变型xf(x)xf(x-x0)x0xf(x/a)xf(-x)x-f(x)xbf(x)平移(原点移至x0)折叠与f(x)关于y轴镜像对称取反与f(x)关于x轴镜像对称倍乘y方向幅度变化比例缩放a1,在x方向展宽a倍a1,在x方向压缩a倍§0-1常用函数—变型（例）xf(x)01x,0x10其它例:f(x)={求f(-2x+4)解：f(-2x+4)=f[-2(x-2)]，包含折叠、压缩、平移xf(-x)0-1先折叠xf(-2x)0-1/2再压缩x0f[-2(x-2)]3/2最后平移cos(x),|x|p/20其它求f(-x/2+p/4)练习：f(x)={§0-1常用函数—变型（练习）先折叠，偶函数折叠后不变xf(x)0p/2-p/2解：f(-x/2+p/4)=f[-(x-p/2)/2]，包含折叠、扩展、平移再扩展,最后平移xf(-x)0p/2-p/2求f(-x/2+p/4)曲线下面积:-dxxfS)(注意：在缩放前后的变化cos(x),|x|p/20其它f(x)={§0-1常用函数注意:1.函数在时域和空域各代表什么物理对象2.一维向二维扩展,各代表什么物理对象一.阶跃函数StepFunctionx01Step(x)1,x01/2,x=00,x0定义:Step(x)={代表：开关,无穷大半平面屏0x§0-1常用函数(续)二.符号函数Signumx01Sgn(x)-11,x00,x=0-1,x0定义:Sgn(x)={原型代表“p”相移器、反相器与Step函数的关系:Sgn(x)=2Step(x)-1§0-1常用函数(续)三.矩形函数RectangleFunction定义xrect(x)01/2-1/21--其它标准型其它,021,1)(rect:,,021x,1)(rect00axxaxxx原型特点:rect(0)=1,矩形宽度=1，矩形面积=1,偶函数快门;单缝,矩孔,区域限定)(rect0axx-x0ax0yaxx0,y0yab0)(rect)(rect00byyaxx--§0-1常用函数(续)四、三角形函数TriangleFunction底宽:2|a|,面积:S=|a|-----其它标准型其它原型,01,1)(tri:,,01,1)(tri:000axxaxxaxxxxx底宽:2最大值：tri(0)=1曲线下面积:S=1xtri(x)01-111xa+x0-a+x0x0又写成：L(x)要关注它和矩形函数的关系§0-1常用函数(续)五、sinc函数)(sinc:,)sin()(sinc:0axxxxx-pp标准型原型xsinc(x)01-111xa+x0-a+x0x0特点:最大值：sinc(0)=1；limsinc(x)=0x曲线下面积:S=1，偶函数0点位置:x=n(n=1,2,3…)等间隔两个一级0点之间的主瓣宽度=2§0-1常用函数五.sinc函数(续)Sinc函数的重要性:•数学上,sinc函数和rect函数互为傅里叶变换•物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数xsinc2(x)01-11sinc(x)sinc2(0)=1,S=1与sinc(x)相比,曲线形状不同,但曲线下面积相同,为什么?二维sinc函数:sinc(x)sinc(y)sin2(px)(px)2附:sinc2函数sinc2(x)=[sinc(x)]2§0-1常用函数(续)六、高斯函数GaussianFunctionGaus(x)=exp(-px2)Gaus(0)=1S=1是非常平滑的函数,即各阶导数均连续.Gaus(x)0x二维情形:Gaus(x)Gaus(y)=exp[-p(x2+y2)]可代表单模激光束的光强分布§0-1常用函数(续)七、圆域函数CircularFunction定义:circ(r)=其它,01,1)(circ2222yxyxcirc函数是不可分离变量的二元函数描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率1xy0ayxcirc22a0§0-1常用函数(续)八、复指数函数ComplexexponentialfunctionAexp(jq)=Acosq+jAsinqq：振子的位相角对于简谐振动，q=2pnt推广到二维：Aexp[j2p(fxx+fyy)]A0qw=2pn注意以上定义的函数,其宗量均无量纲.在处理实际问题时,要根据所取的单位采用适当的缩放因子.例:以rect(x)代表单缝.若x单位为cm,则rect(x)代表宽度为1cm的单缝.若x单位为mm,则rect(x/10)代表宽度为1cm的单缝.课堂练习(要求写在作业本上)0-1.已知函数U(x)=Aexp(j2pf0x)求下列函数，并作出函数的图形(1)|U(x)|2(2)U(x)+U*(x)(3)|U(x)+U*(x)|20-2.已知函数f(x)=rect(x+2)+rect(x-2)求下列函数，并作出函数的图形.(1)f(x-1)(2)f(x)sgn(x)课堂练习(要求写在作业本上)0-3.画出下列函数的图形(1)(2)(3)(4)-2rect4rect)(xxxf)tri(2tri2)(xxxg-)tri(22tri2)(xxxh-))step(tri()(xxxp