归纳与技巧：圆的方程(含解析)

归纳与技巧：圆的方程基础知识归纳1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)圆心：－D2，－E2，半径：12D2＋E2－4F2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.基础题必做1．(教材习题改编)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是()A.14＜m＜1B．m＜14或m＞1C．m＜14D．m＞1解析：选B由(4m)2＋4－4×5m＞0得m＜14或m＞1.2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(1，＋∞)解析：选A∵点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析：选A设圆心坐标为(0，b)，则由题意知0－12＋b－22＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.4．圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋3y－3＝0的距离为________．解析：圆心(1,0)，d＝|1－3|1＋3＝1.答案：15．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为____________________．解析：设圆的方程为x2＋y2＝a2(a＞0)∴|2|1＋1＝a，∴a＝2，∴x2＋y2＝2.答案：x2＋y2＝2解题方法归纳1.方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：(1)B＝0；(2)A＝C≠0；(3)D2＋E2－4AF＞0.2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．圆的方程的求法典题导入[例1](1)已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为()A.x±332＋y2＝43B.x±332＋y2＝13C．x2＋y±332＝43D．x2＋y±332＝13(2)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________________．[自主解答](1)由已知知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b)，半径为r，则rsinπ3＝1，rcosπ3＝|b|，解得r＝23，|b|＝33，即b＝±33.故圆的方程为x2＋y±332＝43.(2)圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0，则26＋5D＋F＝0，10＋D＋F＝0，解得D＝－4，F＝－6.圆C的方程为x2＋y2－4x－6＝0.[答案](1)C(2)x2＋y2－4x－6＝0解题方法归纳1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r或D，E，F的方程组．2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．以题试法1．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆的方程是()A．(x－4)2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y－2)2＝4C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x－2)2＋(y－1)2＝5解析：选D易知圆心为坐标原点O，根据圆的切线的性质可知OA⊥PA，OB⊥PB，因此P，A，O，B四点共圆，△PAB的外接圆就是以线段OP为直径的圆，这个圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.与圆有关的最值问题典题导入[例2](1)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()A．x＋y－2＝0B．y－1＝0C．x－y＝0D．x＋3y－4＝0(2)P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，则x2＋y2的最小值为________．[自主解答](1)当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，∴直线OP垂直于x＋y－2＝0.(2)由C(1,1)得|OC|＝2，则|OP|min＝2－1，即(x2＋y2)min＝2－1.所以x2＋y2的最小值为(2－1)2＝3－22.[答案](1)A(2)3－22解题方法归纳解决与圆有关的最值问题的常用方法(1)形如u＝y－bx－a的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题(如A级T9)；(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．以题试法2．(1)与曲线C：x2＋y2＋2x＋2y＝0相内切，同时又与直线l：y＝2－x相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1则2x－y的最大值为________，最小值为________．解析：(1)依题意，曲线C表示的是以点C(－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C(－1，－1)到直线y＝2－x即x＋y－2＝0的距离等于|－1－1－2|2＝22，易知所求圆的半径等于22＋22＝322.(2)令b＝2x－y，则b为直线2x－y＝b在y轴上的截距的相反数，当直线2x－y＝b与圆相切时，b取得最值．由|2×2＋1－b|5＝1.解得b＝5±5，所以2x－y的最大值为5＋5，最小值为5－5.答案：(1)322(2)5＋55－5与圆有关的轨迹问题典题导入[例3]如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．[自主解答]设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心．由A(－1,0)，B(1,0)，令动点C(x0，y0)，则D(2x0－1,2y0)，由重心坐标公式得x＝－1＋1＋2x0－13，y＝2y03，则x0＝3x＋12，y0＝3y2y0≠0，代入x2＋y2＝1，整理得x＋132＋y2＝49(y≠0)，故所求轨迹方程为x＋132＋y2＝49(y≠0)．解题方法归纳求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程．(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．以题试法3．动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()A．x2＋y2＝32B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16D．x2＋(y－1)2＝16解析：选B设P(x，y)，则由题意可得2x－22＋y2＝x－82＋y2，化简整理得x2＋y2＝16.1．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5解析：选A圆上任一点(x，y)关于原点对称点为(－x，－y)在圆(x＋2)2＋y2＝5上，即(－x＋2)2＋(－y)2＝5.即(x－2)2＋y2＝5.2．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0解析：选C要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心．3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－3)2＋y－732＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D.x－322＋(y－1)2＝1解析：选B依题意设圆心C(a,1)(a＞0)，由圆C与直线4x－3y＝0相切，得|4a－3|5＝1，解得a＝2，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1解析：选A设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则x＝4＋x02，y＝－2＋y02，解得x0＝2x－4，y0＝2y＋2.因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.5．若圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0，关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是()A．(－∞，4)B．(－∞，0)C．(－4，＋∞)D．(4，＋∞)解析：选A将圆的方程变形为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a＞0，即a＜2.∵圆关于直线y＝x＋2b对称，∴圆心在直线y＝x＋2b上，即－3＝1＋2b，解得b＝－2，∴a－b＜4.6．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是()A.95B．1C.45D.135解析：选C圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝|－3－4－2|5＝95，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝45.7．如果三角形三个顶点分别是O(0,0)，A(0,15)，B(－8,0)，则它的内切圆方程为________________．解析：因为△AOB是直角三角形，所以内切圆半径为r＝|OA|＋|OB|－|AB|2＝15＋8－172＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝9.答案：(x＋3)2＋(y－3)2＝98．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为__________．解析：设所求圆的半径是R，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝|4×0－3×1－2|42＋－32＝1，则R2＝d2＋|AB|22＝10，因此圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.答案：x2＋(y－1)2＝109．已知x，y满足x2＋y2＝1，则y－2x－1的最小值为________．解析：y－2x－1表示圆上的点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，所以y－2x－1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)即kx－y＋2－k＝0.由|2－k|k2＋1＝1得k＝34，结合图形可知，y－2x－1≥34，故最小值为34.答案：3410．过点C(3,4)且与x轴，y轴都相切的两个圆的半径分别为r1，r2，求r1r2.解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限，且在直线y＝x上，故可设两圆方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，(x－b)2＋(y－b)2＝b2，且r1＝a，r2＝b.由于两圆都过点C，则(3－a)2＋(4－a)2＝a2，(3－b)2＋(4－b)2＝b2即a2－14a＋25＝0，b2－14b＋25＝0.则a、b是方程x2－14x＋25