【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》复习学案及测试(含答案)

锐角三角函数复习学案【知识梳理】1、锐角三角函数的定义如图1，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=斜边的对边A；∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=斜边的邻边A；∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=的邻边的对边AA．锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数．注意：（1）由于锐角三角函数是一种比值，因此它只有大小而没有单位；（2）由于三角函数是一个比值，它的大小仅与角的大小有关，而与它所在的三角形的边的长度无关；（3）sinA、cosA、tanA是一些完整的符号，不能把sinA看作sin与A的积，离开了A的sin没有任何意义，只有合起来，sinA才表示∠A的正弦．cosA、tanA也是如此．2、特殊角的三角函数值（1）识图记忆法：如图2—①、2—②所示．（2）列表记忆法：（图2—①）（图2—②）30°ABC60°12345°45°ABC112ABC（图1）∠A的对边∠A的邻边斜边（3）规律记忆法：30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1、2、3；30°、45°、60°角的余弦值恰好是60°、45°、30°角的正弦值．3、利用计算器求锐角三角函数值和由锐角三角函数值求锐角．【方法与技巧】1、解直角三角形的类型根据求解的条件分类，利用边角关系可有如下基本基本类型及其解法：（1）已知两边：①两条直角边a、b．其解法：c=22ba，用tanA=ba,求得∠A，∠B=90°－∠A．②斜边和一条直角边c、a．其解法：b=22ac，用sinA=ca，求得∠A，∠B=90°－∠A．（2）一边和一锐角：①一条直角边a和锐角A：∠B=90°－∠A；用tanA=ba,求得b=Aatan；用sinA=ca，求得c=Aasin．②斜边c和锐角A：∠B=90°－∠A；用sianA=ca,求得a=csianA；用cosA=cb,求得b=ccosA．2、解直角三角形的方法（口诀）：“有斜用弦，无斜用切；宁乘毋除，取原避中．”这两句话的意思是：当已知和求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，三角函数0°30°45°60°90°sinα02122231cosα12322210tanα03313不存在则用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．锐角三角函数测试(一)用计算器求值1．sin52°18′＝______（保留三位有效数字）．2．计算：tan46°＝_______（精确到0.01）．3．按CZ1206型科学计算器中的白键，使显示器左边出现DEG后，求cos9°的值，以下按键顺序正确的是（）(二）计算4在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，求tan∠A+cos∠B的值5在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，cos∠B的值为6已知a、b、c是△ABC的三边，a、b、c满足b2=(c+a)(c-a)．求5b-4c=0，求sinA+sinB的值．7如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB与D，BC=3，AC=4．求∠BCD的正切值．8如果a是锐角且cos=54，求sina的值．9如图2，在Rt△ABC中，点D在BC上，且∠ADC=45°，DC=6，求∠BAD的正切值．10如图，一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C(灯塔B距离A处较近)，两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上，渔船向正东方向航行l小时45分钟之后到达D点，观测到灯塔B恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险?参考答案：1．0.791；2．1.04；3．（C）．4析解：因为∠A=60°，所以∠B=30°，所以tan∠A=tan60°=3，cos∠B=cos30°=23，所以tan∠A+cos∠B=3+23=323．5析解：由勾股定理可求得，BC=4352222ACAB，所以cos∠B=54ACBC．6析解：根据b2=(c+a)(c-a)，可得b2=c2-a2，所以a2+b2=c2，所以△ABC为直角三角形，且∠C=90°，因为5b-4c=0，所以设b=4k(k0)，则c=5k，根据勾股定理可得a=3k，所以sinA+sinB=575453kkkkcbca．7析解：因为∠ACB=90°，所以∠A+∠B=90°，因为CD⊥AB，所以∠B+∠BCD=90°，所以∠BCD=∠A，所以tan∠BCD=tan∠A=43ACBC．8析解：根据三角函数的意义可得sin2a+cos2a=1，所以sina=53)54(1cos122a．9析解：过点D作DE⊥AB，交AB于点E，在Rt△ADC中，∠C=90°，∠ACD=45°，DC=6，所以∠DAC=45°，所以AC=DC=6，在Rt△ABC中，∠C=90°，因为sin∠B=53，所以53ABAC，设AC=3k，则AB=5k，所以3k=6，所以k=2，所以AB=5k=10，根据勾股定理，得BC=6，所以BD=BC-DC=8-6=2．在Rt△BDE中，∠BED=90°，sin∠B=53，所以532DEBDDE，所以DE=56．根据勾股定理，得BE=58所以AE=BE=10-58=542，图2图1所以tan∠BAD=7142556AEDE．10析解1小时45分=431小时．在Rt△ABD中，(海里)，∠BAD=90°-65°45′=24°15′．∵cos24°15′=，∴(海里)．AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里)．在Rt△ACE中，sin24°15′=，∴CE=AC·sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里)．∵17.54＜18.6，∴这条船不改变方向会有触礁危险．