2020年高中数学新教材同步必修第一册-第5章-5.4.2-第2课时-单调性与最值

第五章5.4.2正弦函数、余弦函数的性质学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PARTONE知识点正弦函数、余弦函数的单调性与最值正弦函数余弦函数图象定义域RR值域______________________[－1,1][－1,1]单调性在(k∈Z)上单调递增，在(k∈Z)上单调递减在(k∈Z)上单调递增，在(k∈Z)上单调递减最值x＝(k∈Z)时，ymax＝1；x＝(k∈Z)时，ymin＝－1x＝(k∈Z)时，ymax＝1；x＝(k∈Z)时，ymin＝－12kπ－π2，2kπ＋π22kπ＋π2，2kπ＋32π[2kπ－π，2kπ][2kπ，2kπ＋π]π2＋2kπ－π2＋2kπ2kπ2kπ＋π思考正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？答案不正确.正弦函数在每个闭区间(k∈Z)上是增函数，并不是在整个定义域上是增函数，同样的，余弦函数在每个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数，并不是在整个定义域上是减函数.2kπ－π2，2kπ＋π21.函数y＝2cosx＋1的值域为________.2.函数y＝sinx取最大值时x＝______________.3.函数y＝sinx的值域为_______.4.函数y＝－cosx的单调递减区间是______________________；单调递增区间是____________________.π6≤x≤π预习小测自我检验YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN[－1,3]π2＋2kπ，k∈Z[0,1][－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)2题型探究PARTTWO例1求函数y＝2sinx－π3的单调区间.一、求正弦、余弦函数的单调区间延伸探究求函数y＝2sinπ4－x的单调递减区间.解y＝2sinπ4－x＝－2sinx－π4，令z＝x－π4，而函数y＝－2sinz的单调递减区间是－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z).∴原函数递减时，得－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π4＋2kπ≤x≤3π4＋2kπ(k∈Z).∴原函数的单调递减区间是－π4＋2kπ，3π4＋2kπ(k∈Z).反思感悟求正、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的单调区间同上.跟踪训练1求下列函数的单调递增区间：(1)y＝cos2x；解由2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)，所以kπ－π2≤x≤kπ(k∈Z)，所以函数y＝cos2x的单调递增区间为kπ－π2，kπ(k∈Z).(2)y＝sinπ6－x，x∈π2，2π.解因为y＝sinπ6－x＝－sinx－π6，所以函数y＝sinπ6－x的单调递增区间就是函数y＝sinx－π6的单调递减区间，由2kπ＋π2≤x－π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，得2kπ＋2π3≤x≤2kπ＋5π3，k∈Z.因为x∈π2，2π，所以所求函数的单调递增区间为2π3，5π3.二、三角函数值的大小比较例2比较下列各组中函数值的大小：(1)cos－235π与cos－174π；解cos－235π＝cos－6π＋75π＝cos75π，cos－174π＝cos－6π＋74π＝cos74π，∵π75π74π2π，∴cos75πcos74π，即cos－235πcos－174π.(2)sin194°与cos160°.解sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°14°70°90°，∴sin14°sin70°.∴sin194°cos160°.反思感悟比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；(3)利用函数的单调性比较大小.跟踪训练2比较大小：(1)cos－7π8与cos7π6；解cos－7π8＝cos7π8＝cosπ－π8＝－cosπ8，而cos7π6＝－cosπ6，∵0π8π6π2，∴cosπ8cosπ6.∴－cosπ8－cosπ6，∴cos－7π8cos7π6.(2)sin74与cos53.解∵cos53＝sinπ2＋53，π274π2＋5332π，又y＝sinx在π2，3π2上是减函数，∴sin74sinπ2＋53＝cos53，即sin74cos53.三、正弦、余弦函数的最值(值域)例3求下列函数的值域：(1)y＝cosx＋π6，x∈0，π2；解由y＝cosx＋π6，x∈0，π2可得x＋π6∈π6，2π3，因为函数y＝cosx在区间π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为－12，32.(2)y＝cos2x－4cosx＋5.解y＝cos2x－4cosx＋5，令t＝cosx，则－1≤t≤1.y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，当t＝－1，函数取得最大值10；t＝1时，函数取得最小值2，所以函数的值域为[2,10].反思感悟求三角函数值域的常用方法(1)求解形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1)求解.求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性.(2)求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sinx(或cosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性.跟踪训练3(1)函数y＝2cos2x＋π6，x∈－π6，π4的值域为________.[－1,2]解析∵x∈－π6，π4，∴2x＋π6∈－π6，2π3，∴cos2x＋π6∈－12，1，∴函数的值域为[－1,2].(2)函数f(x)＝2sin2x＋2sinx－12，x∈π6，5π6的值域为________.1，72解析令t＝sinx，∵x∈π6，5π6，∴12≤sinx≤1，即12≤t≤1.∴f(t)＝2t2＋2t－12＝2t＋122－1，t∈12，1，且该函数在12，1上单调递增.∴f(t)的最小值为f12＝1，最大值为f(1)＝72.即函数f(x)的值域为1，72.典例函数y＝sin2x＋π3的图象的对称轴方程是________________，对称中心的坐标是_________________.正弦、余弦函数的对称性核心素养之直观想象HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANGx＝k2π＋π12(k∈Z)k2π－π6，0(k∈Z)素养提升正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.3随堂演练PARTTHREE1.函数y＝－cosx在区间－π2，π2上是12345A.增函数B.减函数C.先减后增函数D.先增后减函数√解析因为y＝cosx在区间－π2，π2上先增后减，所以y＝－cosx在区间－π2，π2上先减后增.2.正弦函数y＝sinx，x∈R的图象的一条对称轴是A.y轴B.x轴C.直线x＝D.直线x＝ππ212345解析当x＝π2时，y取最大值，√∴x＝π2是一条对称轴.134523.y＝cosx－π4在[0，π]上的单调递减区间为A.π4，3π4B.0，π4C.3π4，πD.π4，π√134524.下列关系式中正确的是A.sin11°cos10°sin168°B.sin168°sin11°cos10°C.sin11°sin168°cos10°D.sin168°cos10°sin11°√解析∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°.∴由正弦函数的单调性，得sin11°sin12°sin80°，即sin11°sin168°cos10°.134525.函数y＝3cos12x－π4在x＝______________时，y取最大值.4kπ＋π2(k∈Z)解析当函数取最大值时，12x－π4＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋π2(k∈Z).课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：(1)正弦、余弦函数的最大(小)值；(2)正弦、余弦函数的单调性；(3)正弦、余弦函数的对称性；(4)比较大小.2.方法归纳：整体思想，换元思想.3.常见误区：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sinx，cosx本身具有的范围限制.本课结束