《矩阵分析》小论文

专业：控制工程姓名：姚乐乐学号：20112101091矩阵函数在控制系统状态空间分析中的应用矩阵函数是矩阵理论的重要内容，它在力学、控制理论、信号处理等学科中具有重要作用。矩阵函数中最简单的是矩阵多项式，矩阵多项式是研究其他矩阵函数的基础，一般矩阵函数都是由矩阵多项式定义和计算的。在控制工程专业中，设计一个合适的控制系统是很重要的，自动控制原理是设计系统的基础。在控制原理中，无论是经典控制理论，还是现代控制原理，都经常会面临着线性微分方程组及矩阵方程的求解。矩阵函数，特别是简单而又一般的矩阵多项式在这些问题的求解过程中起到了重要的作用。第一章矩阵函数1.1矩阵级数定义1设(){}kA是mnC的矩阵序列，其中()()()kkmnijAaC，无穷和(1)(2)(3)()kAAAA称为矩阵级数，记为()1kkA。对正整数1k，记()()1kkiiSA称()kS为矩阵级数()1kkA的部分和，如果矩阵序列(){}kS收敛，且有极限S，即()limkkSS，则称矩阵级数()1kkA收敛，并称S为矩阵级数()1kkA的和，记为()1kkAS不收敛的矩阵级数称为发散的。由此定义可知，矩阵级数()1kkA收敛的充分必要条件是mn个数项级数()1(1,2,;1,2,,)kijkaimjn都收敛。定义2设()1kkA是矩阵级数，其中()()()kkmnijAaC，如果mn个数项级数()1kijka(1,2,;1,2,,)imjn都绝对收敛，则称矩阵级数()1kkA绝对收敛。定义3设nnAC，形如专业：控制工程姓名：姚乐乐学号：2011210109220120kkkkkcAcIcAcAcA的矩阵级数称为矩阵幂级数。1.2矩阵函数的定义及性质定义4设nnAC，一元函数()f能够展开为的幂级数0()kkkfc并且该幂级数的收敛半径为R。当A的谱半径()AR时，则将收敛矩阵幂级数0kkkcA的和定义为矩阵函数，记为()fA，即0()kkkfAcA。常用的矩阵级数如下：2112!!nEAAAn；3521111(1)3!5!(21)!nnAAAAn；242111(1)2!4!(2)!nnEAAAn它们都是收敛的。它们的和分别记为Ae，sinA,cosA通常称Ae为矩阵指数函数，sinA和cosA为矩阵三角函数，对方阵A的这三种函数，容易验证下列性质：性质1对任意,nnABC，,klC，有（1）()kAlAklAeee；（2）1()AAee；（3）当ABBA时，ABBAABeeeee；（4）()AtAtAtdeAeeAdt；（5）(sin)cos()cos()dAtAAtAtAdt；（6）(cos)sinsindAtAAtAtAdt专业：控制工程姓名：姚乐乐学号：20112101093其中，矩阵指数函数Ae在线性控制系统状态空间分析中经常用到，又被称为矩阵转移函数。定义5设矩阵A的最小多项式为tmtmm2121即说A之所有不同特征根为t,,,21，它们作为最小多项式的根之重数依次为tmmm,...,,21。我们把A的所有不同特征根连同它们在最小多项式中根的重数称为A的谱.记为ttmmm,,,,,,2211。定义6对任意函数()f，如果(1)(),(),,(),imiiifff1,2,,it都存在，则称()f在A的谱上有定义，并称(1)(),(),,(),cmiiifff（1,2,,it）为()f在A的谱上的值。定义7如果两个多项式f，g在A的谱上有相同的值，即if=ig，if=tigfgimimiii,,2,1,,11则说f与g在A的谱上一致。定理对于方阵A及多项式f，g，fAgA的充分必要条件是f与g在A的谱上一致。定义8设矩阵nnAC的最小多项式为tmtmm2121,函数)(f在A的谱上有定义.如果存在在A的谱上与()f一致的多项式()g,即，),()(iigf)(')('iigf)()(,,)1()1(imimiigf1,2,,it，则定义矩阵函数()fA为()()fAgA。有了上述定义，在实际应用中，如果遇到了比较复杂的矩阵函数()fA，可以转换思路，寻找在A的谱上与()f一致的多项式()g，其相应的矩阵函数为)(Ag。由于)(Ag是矩阵多项式，这样分析问题得到了简化。专业：控制工程姓名：姚乐乐学号：20112101094第二章控制系统状态空间分析的相关概念在现代控制理论中，传统的系统数学模型，例如微分方程、传递函数都有一定的局限性，一旦遇到复杂的情况，往往不便于解决。一种新的控制系统的数学模型——状态空间表达式，比较好的解决了上述问题。状态空间形式上是一组矩阵表达式，它是通过输入、状态变量和输出来描述系统。状态空间法是把系统的高阶微分方程或传递函数改写为一阶微分方程组，后者称为系统的状态方程。由于一阶微分方程组可以用向量和矩阵的形式来表示，因而使系统的数学模型变得简单，且便于运算。在设计系统时，除了采用传统的输出反馈外，还能充分利用系统内部众多的状态变量进行反馈，在一定的条件下，使系统的闭环极点能得到任意配置。此外，用状态变量描述系统的另一优点是不论被描述的系统多么复杂，阶次多么高；也不论是定常系统，还是时变系统；不论是子系统，还是总的系统；不论是开环系统，还是闭环系统，它们动态方程式的形式都完全相同。由于用状态空间描述控制系统有上述的优点，因而在现代控制理论中被广泛地应用。定义1线性系统的状态空间描述设系统动态方程为xAxBuyCxDumpuRyR状态解：00()()0()()()tAttAttxtexteBud转移矩阵(定义)：0()0()Atttte表示状态()xt从0x到1x的转移关系矩阵。xAx，00()xtx，11()xtx，1100()xttx取拉氏变换：()(0)()()sXsxAXsBUs1()()[()(0)]XssIABUsx，当(0)0x时，1()[()]()YsCsIABDUs传递函数：1()()GsCsIABD专业：控制工程姓名：姚乐乐学号：20112101095用状态空间表达式描述系统时，通常会涉及到下列两个问题：①在有限的时间内，能否通过施加适当的输入量)(tu将系统从任意初始状态转移到其他指定的状态上去。②由于状态变量通常不是个个都能被测量到的，能否在有限的时间内根据对输出)(ty的测量来确定初始状态)(0tx。由上述两个问题引出了系统的能控性和能观性两个概念，这是现代控制理论中的非常重要的基础。定义2系统能控性及其判据能控性：若存在着一个无约束的控制向量)(tu，在有限的时间内，将系统由任意给定的初始状态)0(x转移到状态空间的坐标原点，则称系统是能控的。判别线性系统(完全)能控性的两个等价条件：（1）1[]ncBABAB,rankcn（矩阵及秩）（2）rank[],sIABns（复数域）定义3系统能观性及其判据能观性：如果一个无约束的控制向量)(tu已知，在有限的时间区间],0[1t内，通过对输出)(ty的测量值能唯一地确定系统的初始状态)0(x，则称系统的状态是能观的。判别系统能观性的两个等价条件：（1）01nCCACA,0rankn（矩阵及秩）（2）rank,sIAnsC（复数域）线性定常系统输出完全能控的充分必要条件是：1()rank[]nmnrrDCBCABCABp定义4能控标准型专业：控制工程姓名：姚乐乐学号：20112101096（1）单输入单输出(SISO)系统能控标准形：111101110()()nnnnnbsbsbGsCsIABDsasasa0110110100000100;;1cccnnAbcbbbaaa从状态空间表示(,,)Abc求取能控标准形(,,)cccAbc的方法：111111111,001001nccnPPAPPUbAbAbPAcxPx，1cccAPAP，1ccbPb，ccccP可以将任意形式的能控系统化成上述能控标准形。（2）多输入多输出(MIMO)系统能控标准形：1112122()()()()()()00ccccxtxtAABxtutxtxtA，12()()()ccxtytCCxt定义5能观标准型（1）单输入单输出(SISO)系统能观标准形：0011110010;;001001ooonnababAbcab（2）多输入多输出(MIMO)系统能控标准形：0111122122()()()0()(),()0()()()oooooxtxtxtBAxtutytCxtxtxtBAA综合定义4与定义5可知，能控标准型与能观标准型互为对偶矩阵。专业：控制工程姓名：姚乐乐学号：20112101097第三章矩阵函数在控制系统状态空间分析中的应用在线性系统的状态空间描述中，矩阵指数函数Ate起到了很重要的作用，它是线性定常系统由状态空间过渡到时域的纽带，因此，Ate在状态空间分析中被称为状态转移矩阵。根据一组状态空间方程，有时需要求出其状态解，这就用到了矩阵函数，求解问题的关键在于状态转移矩阵Ate的计算，下面简要介绍几种计算矩阵函数Ate的方法。（A为状态空间的系数矩阵且为方阵）。3.1利用Jordan标准形由于对任意方阵，总有A的Jordan标准形J及满秩方阵P，使得1APJP，因此1mmAPJP若12sJJJJ，（1）其中111iiiiiinnJ,1,2,,is.（2）(1,2,,)iis为A的in重特征根，且12knnnn，则1211smmmmmJJAPJPPPJ由上述讨论知，对一般的n阶方阵A，要计算mA，实质上是计算A的Jordan块iJ的函数imJ，A的多项式及A的幂级数的计算问题亦可化为计算A的Jordan块的函数。专业：控制工程姓名：姚乐乐学号：20112101098计算Jordan块iJ的函数()ifJ设111iiiikkJ，令010110ikkH,则iiiJEH即iiiHJE又20010100ikkH，3000101000ikkH，0piH,()pk.设函数()f在i处的Taylor展开式为()0()()()!mmiimffm，则2()()()()()()1!2!iiiiiiiifffJfEJEJE()()()!mmiiifJEm(1)21()()()()01!2!(1)!ikkiiiiiffffEHHHk(1)()()()()2!(1)!()2!()()kiiiiiiiffffkfff