高二数学《圆锥曲线方程》知识点总结

椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0e1）2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.方程标准方程12222byax(ba0)12222byax(a0,b0)y2=2px参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222(t为参数)范围─axa，─byb|x|a，yRx0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)(a,0),(─a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a,虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0),F2(─c,0)F1(c,0),F2(─c,0))0,2(pF焦距2c（c=22ba）2c（c=22ba）离心率)10(eace)1(eacee=1准线x=ca2x=ca22px渐近线y=±abx焦半径exar左加又右减)(aexr2pxr通径ab22ab222p焦参数ca2ca2P圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x轴上时12222byax（0ab），焦点在y轴上时2222bxay＝1（0ab）。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。如（1）已知方程12322kykx表示椭圆，则k的取值范围为____（答：11(3,)(,2)22）；（2）若Ryx,，且62322yx，则yx的最大值是____，22yx的最小值是___（答：5,2）（2）双曲线：焦点在x轴上：2222byax=1，焦点在y轴上：2222bxay＝1（0,0ab）。方程22AxByC表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。如设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线C过点)10,4(P，则C的方程为_______（答：226xy）（3）抛物线：开口向右时22(0)ypxp，开口向左时22(0)ypxp，开口向上时22(0)xpyp，开口向下时22(0)xpyp。如定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。454.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆1522myx的离心率510e，则m的值是__（答：3或325）；（2）双曲线（双曲线1e，等轴双曲线2e，e越小，开口越小，e越大，开口越大；两条渐近线：byxa。（3）如（1）双曲线的渐近线方程是023yx，则该双曲线的离心率等于______（答：132或133）；（3）抛物线（抛物线1e。如设Raa,0，则抛物线24axy的焦点坐标为________（答：)161,0(a）；6．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交例如：直线y―kx―1=0与椭圆2215xym恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；（2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。如（1）过点)4,2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；（3）过双曲线1222yx的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB4，则满足条件的直线l有____条（答：3）；7、焦半径如（1）已知椭圆1162522yx上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：353）；（2）已知抛物线方程为xy82，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为_____（答：7,(2,4)）；（5）抛物线xy22上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______（答：2）；（6）椭圆13422yx内有一点)1,1(P，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使MFMP2之值最小，则点M的坐标为_______（答：)1,362(）；10、弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,xx分别为A、B的横坐标，则AB＝2121kxx，若12,yy分别为A、B的纵坐标，则AB＝21211yyk，若弦AB所在直线方程设为xkyb，则AB＝2121kyy。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；（2）过抛物线xy22焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）；11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=－0202yaxb；在双曲线22221xyab中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=0202yaxb；在抛物线22(0)ypxp中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=0py。如（1）如果椭圆221369xy弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：280xy）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)xyabab相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：22）；特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！13．动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：①直接法：直接利用条件建立,xy之间的关系(,)0Fxy；如已知动点P到定点F(1,0)和直线3x的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：212(4)(34)yxx或24(03)yxx）；②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）)0(m，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：22yx）；③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点P向圆221xy作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为（答：224xy）；（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线05xl：的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______（答：216yx）；(3)一动圆与两圆⊙M：122yx和⊙N：012822xyx都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；④代入转移法：动点(,)Pxy依赖于另一动点00(,)Qxy的变化而变化，并且00(,)Qxy又在某已知曲线上，则可先用,xy的代数式表示00,xy，再将00,xy代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线122xy上任一点，定点为)1,0(A,点M分PA所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答：3162xy）；⑤参数法：当动点(,)Pxy坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,xy均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点P，使||||OPMN，求点P的轨迹。（答：22||xyay）；（2）若点),(11yxP在圆122yx上运动，则点),(1111yxyxQ的轨迹方程是____（答：2121(||)2yxx）；（3）过抛物线yx42的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：222xy）；FAPHBQF′FPHy0xA15.圆锥曲线中线段的最值问题：例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________(2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PFPH，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。解：（1）（2，2）（2）（1,41）点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例2、F是椭圆13422yx的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。（1）PFPA的最小值为（2）PFPA2的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径FP或准线作出来考虑问题。解：（1）4-5设另一焦点为F，则F(-1,0)连AF,PF542)(22FAaPAFPaFPaPAPFPA当P是FA的延长线与椭圆的交点时,PFPA取得最小值为4-5。（2）3作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1，a=2，c=1，e=21，∴PHPFPHPF2,21即∴PHPAPFPA2当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为3142Axca