数字信号处理-吴镇扬-第二版-第五章习题答案

5.1用矩形窗设计一线性相位高通滤波器⎩⎨⎧−≤≤≤≤−=−−ccajjdeeHωπωπωωππωω00)()()(nh（1）写出的表达式，确定a与N的关系。2()011()()sin[()22()(1)()ccjjjnjjnddcnccehnHeedeednnSanπωππωωωπωπωωωαωπππαωαωπ+−−−===−−=−−∫∫（2）问有几种类型，分别是属于哪一种线性相位滤波器？（3）若改用汉宁窗设计，写出的表达式。()hn解：（1）⎩⎨⎧−≤≤=⋅=nNnnhnRnhnhdd010)()()()(（2）情况1：情况2：N21−=Na)(nhda为奇数，为整数，关于偶对称。为第一种类型线性相位滤波器。N21−=Na)(nhda为偶数，不是整数，关于奇对称，为第四种类型线性相位滤波器。[])()()(sin)1(12cos121)(nRananNnnhNcn−−−⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=πωπ（3）⎩⎨⎧=−0)(ωαωjjdeeHπωωωωωωωωωωω≤≤+−≤≤+≤≤−cccc0000,05.2用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器N)(nh（1）设计为奇数时的。)(nh（3）若改用汉明窗设计，写出以上两种形式的表达式。0000011()222[()]cos[()]ccccjjnjjndcchneedeedSannωωωωωαωωαωωωωωωωππωαωαωπ−++−−−−−=+=−−∫∫⎩⎨⎧−≤≤=⋅=010)()()()(NnnhnRnhnhdd)1()(nNhnh−−=可见h(n)关于(N-1)/2偶对称，即N)(nh（2）设计为偶数时的。)(nhd理想单位冲激响应为：解：⎩⎨⎧−≤≤=⋅=010)()()()(NnnhnRnhnhdd)(12cos46.054.0)(nRNnnwNHam⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=π(3)若采用海明窗设计，则N(1)当为奇数时，为第一类滤波器。(2)当N为偶数时，为第二类滤波器02()sin[()]cos[()]()()cHamhnnnwnnαωαωαπ=−−−N为奇数时，02()sin[()]cos[()]()()cHamhnnnwnnαωαωαπ=−−−N为偶数时，()0jjdjeHeωαω−⎧−=⎨⎩0000,ccccωωωωωωωωωωπ−≤−≤≤≤−+≤≤5.3用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器N)(nh（1）设计为奇数时的。)(nh（3）若改用汉明窗设计，写出以上两种形式的表达式。N)(nh（2）设计为偶数时的。解：0000011()222[()]sin[()]ccccjjnjjndcchnjeedjeedSannωωωωωαωωαωωωωωωωππωαωαωπ−++−−−−−=+−=−−∫∫0[(-)]sin[()]-1()2cdSannNhnααωααωααα−=因为关于偶对称，关于奇对称，所以，关于奇对称，为保证线性相位取⎩⎨⎧−≤≤=⋅=010)()()()(NnnhnRnhnhdd)(12cos46.054.0)(nRNnnwNHam⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=π(3)若采用海明窗设计，则N(1)当为奇数时，为第三类滤波器。(2)当N为偶数时，为第四类滤波器02()[()]sin[()]()ccHamhnSannwnωαωαωπ=−−N为奇数时，N为偶数时，02()[()]sin[()]()ccHamhnSannwnωαωαωπ=−−kNkHH−=12114()()215NNkkkkNNπθππ−−=−=−=−)21(10]2/)/2sin[()2/sin()(1)(NkNjNkjeNkNkHNeHπωωπωω+−−−=∑−=14141515()10.50.5kjjjkHkHeeeππθ−==++1414(7)15150sin(15/2)1()15sin[(2/15)/2]kkjjjkkHHeeekππωωωωπ−−+=∴=−∑71sin(15/2)0.5sin(15/2)0.5sin(15/2)[]15sin(/2)sin(/2/15)sin(/2/15)jeωωωωωωπωπ−=−−−+5.6由已知条件可得:又因为N为奇数，所以20114141414=0,151515θθπθππ∴=−=−=，12/0112()()[1cos(7)]0141515NjkNnhnHkennNππ−===+−≤≤∑248211()()()jkjkHkeHkeHkππ−−==5.7（1）由于h2(n)是h1(n)圆周移位的序列，根据DFT的性质有：)(~)(~21kHkH=所以成立12()()-12hnhnNα=(2)由于和均为偶对称序列，以其构成的低通滤波器均为线性相位，延时。41111(3)()()cos[()]2nHbnnω==−∑11111()2(1),(1)2(4)(2)2(5),(3)2(6),(4)2(7)2Nbnhnbhbhbhbh=−+====，42211()()cos[()]2nHbnnω==−∑22222()2(1),(1)2(4)(2)2(5),(3)2(6),(4)2(7)2Nbnhnbhbhbhbh=−+====，由于h1(n)与h2(n)的样本顺序不同所以两滤波器的性能不同。h1(n)好于h2(n)5.8解：N=32为偶数，要使得滤波器为低通，则只能是第二类，即h(n)偶对称，H(k)=-H(N-k)，。31323132()313231322281610,1,27,0.398131()125,26,31320.392400,1,27,0.398()25,26,310.39240ckjkjkjkjkkjkNkkNHkkkkNkekekHkHeekekππθππππωωπθππ−−−−∆====⎧⎪=⎪−⎪==−=−−=⎨⎪−=⎪⎪⎩==∴==−=−=LLLL频率间隔，截至频率位于第采样点处，因此其他⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩其他()(1)/kkNNθπ=−−5.9解(1)N=33为奇数，要使得滤波器为高通，则只能是第一类，即h(n)偶对称，H(k)=H(N-k)，。()(1)/kkNNθπ=−−323332()332234121333113,14,20,1320.391221()3300.391221()13,14,20,0ckjkjkjkkNkNHkkkkNekHkHeekππθππωωπθππ−−∆====⎧−⎪===−=−⎨⎪⎩⎧=⎪⎪⎪∴===⎨⎪⎪⎪⎩LL频率间隔，截至频率位于第和采样点处，因此，（过渡点）其他，（过渡点）其他5.9解(2)N=34为偶数，要使得滤波器为高通，则只能是第四类，即h(n)奇对称，H(k)=H(N-k)，。()(1)//2kkNNθππ=−−−33()34233()()3422234121334113,14,21,1330.391222()34200.391222()13,14,21,0ckjkjkjkkNkNHkkkkNekHkHeekππππθππωωππθππ−+−+∆====⎧−⎪===−=−−⎨⎪⎩⎧=⎪⎪⎪∴===⎨⎪⎪⎪⎩LL频率间隔，截至频率位于第和采样点处，因此，（过渡点）其他，（过渡点）其他5.12FIR=0.1=0.3,At40N()crdhnωπωπβ设计一低通滤波器，低通边界频率，阻带边界频率为阻带衰减不小于dB。用凯塞窗设计，试决定参数和滤波器的长度及。0.4At40dB,0.5842-21)0.07886(-21)3.3953840822.282.2862.2860.20.22[()]1()2cccrcccjjndcAtAtAtNSannhneednωωαωωβωπωωωπωωααπωωπαπ′−′−=+≈−−==≈∆×+′==′⎧′−≠⎪⎪==⎨′⎪=⎪⎩∫解：由经验公式可知若不小于则（