维纳滤波(Wiener-Filtering)

第6章维纳滤波（WienerFiltering）随机信号或随机过程(randomprocess)是普遍存在的。一方面，任何确定性信号经过测量后往往就会引入随机性误差而使该信号随机化；另一方面，任何信号本身都存在随机干扰，通常把对信号或系统功能起干扰作用的随机信号称之为噪声。噪声按功率谱密度划分为白噪声（whitenoise）和色噪声（colornoise），我们把均值为0的白噪声叫纯随机信号（purerandomsignal）。因此，任何其它随机信号都可看成是纯随机信号与确定性信号并存的混合随机信号或简称为随机信号。要区别干扰（interference）和噪声(noise)两种事实和两个概念。非目标信号（nonobjectivesignal都可叫干扰。干扰可以是确定信号，如国内的50Hz工频干扰。干扰也可以是噪声，纯随机信号（白噪声）加上一个直流成分（确定性信号），就成了最简单的混合随机信号。医学数字信号处理的目的是要提取包含在随机信号中的确定成分，并探求它与生理、病理过程的关系，为医学决策提供一定的依据。例如从自发脑电中提取诱发脑电信号，就是把自发脑电看成是干扰信号，从中提取出需要的信息成分。因此我们需要寻找一种最佳线性滤波器，当信号和干扰以及随机噪声同时输入该滤波器时，在输出端能将信号尽可能精确地表现出来。维纳滤波和卡尔曼滤波就是用来解决这样一类问题的方法：从噪声中提取出有用的信号。实际上，这种线性滤波方法也被看成是一种估计问题或者线性预测问题。设有一个线性系统，它的单位脉冲响应是，当输入一个观测到的随机信号，简称观测值，且该信号包含噪声和有用信号，简称信号，也即(1)()hn()xn()wn()sn()()()xnsnwn()()()()()mynxnhnhmxnm则输出为(2)我们希望输出得到的与有用信号尽量接近，因此称为的估计值，用来表示，我们就有了维纳滤波器的系统框图.这个系统的单位脉冲响应也称为对于的一种估计器。()yn()sn()sn()yn()ynˆ()sn()sn()()()xnsnwnˆ()()ynsn)(nh用当前的和过去的观测值来估计当前的信号称为滤波；用过去的观测值来估计当前的或将来的信号，称为预测；用过去的观测值来估计过去的信号称为平滑或者内插。ˆ()()ynsnˆ()()ynsnNˆ()()1ynsnNN系统框图中估计到的信号和我们期望得到的有用信号不可能完全相同，这里用来表示真值和估计值之间的误差(3)显然是随机变量，维纳滤波和卡尔曼滤波的误差准则就是最小均方误差准则(4)ˆ()sn()sn()enˆ()()()ensnsn()en22ˆ()(()())EenEsnsn()()()xnsnwnˆ()()ynsn)(nh１维纳滤波器的时域解（TimedomainsolutionoftheWienerfilter）设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小均方误差下滤波器的单位脉冲响应或传递函数的表达式，其实质就是解维纳－霍夫（Wiener－Hopf）方程。我们从时域入手求最小均方误差下的用表示最佳线性滤波器。这里只讨论因果可实现滤波器的设计。)(nh()Hz()hn()opthn１.１因果的维纳滤波器设是物理可实现的，也即是因果序列：因此，从式(1)、(2)、(3)、(4)推导：(5)(6)()hn()0,0hnn当0ˆ()()()()mynsnhmxnm220()(()()())mEenEsnhmxnm要使得均方误差最小，则将上式对各m＝0，1，…，求偏导，并且等于零，得：()hm0002(()()())()00,1,2()()()()()0()()()0optmoptmxsoptxxmEsnhmxnmxnjjEsnxnjhmExnmxnjjRjhmRjmj()opthn220()(()()())mEenEsnhmxnm从维纳－霍夫方程中解出的h就是最小均方误差下的最佳h，。于是得到N个线性方程：0(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)1(1)(0)(1)(1)(0)(1)(2)1(1)(0)(1)(1)(2)(1)(0)xsxxxxxxxsxxxxxxxsxxxxxxjRhRhRhNRNjRhRhRhNRNjNRNhRNhRNhNR写成矩阵形式有：(0)(1)(1)(0)(0)(1)(0)(2)(1)(1)(1)(2)(0)(1)(1)xxxxxxxsxxxxxxxsxxxxxxxsRRRNRhRRRNRhRNRNRRNhN简化形式：xxxsRHR式中，是待求的单位脉冲响应[(0),(1),...,(1)]ThhhNH只要是非奇异的，就可以求到H：xxR1xxxsHRR求得H后，这时的均方误差为最小：记最佳的H为()optnHH22min02000000()(()()())[()2()()()()()()()](0)2()()()()()()optmmoptoptmrssoptxsoptoptxxmmrxsoEenEsnhmxnmEsnsnhmxnmhmxnmhrxnrRhmRmhmhrRmrRjh上式中02min0()()0[()](0)()()ptxxmssoptxsmmRjmjEenRhmRm若信号与噪声互不相关，即，()()0()[()()][()()()()]()()[(()())(()())]()()swwsxsssxxsswwRmRmRmExnsnmEsnsnmwnsnmRmRmEsnwnsnmwnmRmRm12min0[()](0)()()NssoptssmEenRhmRm12min0[()](0)()()NssoptxsmEenRhmRm前面推导的最小均方误差[下式]：可以改写为：【例1】如图，，信号与噪声统计独立，其中噪声是方差为1的单位白噪声，试设计一个N＝2的维纳滤波器来估计，并求最小均方误差。()0.6mssRm()sn()()()xnsnwn()()()xnsnwnˆ()()ynsn)(nh解：已知信号的自相关和噪声的自相关为：()0.6mssRm()()wwRmm(0)0.451(1)0.165hh12min0[()](0)()()1(0)0.6(1)0.45ssssmEenRhmRmhh10()()[()()]012(0)0.6(1)10.60.6(0)2(1)ssoptsswwmRjhmRjmRjmjhhjhh解得：求得最小均方误差：2维纳滤波器的应用要设计维纳滤波器必须知道观测信号和估计信号之间的相关函数，即先验知识。如果我们不知道它们之间的相关函数，就必须先对它们的统计特性做估计，然后才能设计出维纳滤波器，这样设计出的滤波器被称为“后验维纳滤波器”。在生物医学信号处理中比较典型的应用就是关于诱发脑电信号的提取。大脑诱发电位（EvokedPotential，EP）指在外界刺激下，从头皮上记录到的特异电位，它反映了外周感觉神经、感觉通路及中枢神经系统中相关结构在特定刺激情况下的状态反应。在神经学研究以及临床诊断、手术监护中有重要意义。EP信号十分微弱，一般都淹没在自发脑电（EEG）之中，从EEG背景中提取诱发电位一直是个难题：EP的幅度比自发脑电低一个数量级，无法从一次观察中直接得到；EP的频谱与自发脑电频谱完全重迭，使得频率滤波失效；在统计上EP是非平稳的、时变的脑诱发电位。通过多次刺激得到的脑电信号进行叠加来提取EP，这是现今最为广泛使用的EP提取方法。为了解决诱发电位提取问题，研究者利用维纳滤波来提高信噪比，先后有Walter、Doyle、Weerd等对维纳滤波方法进行了改进。在频域应用后验维纳滤波的核心就是由各次观察信号中分解出信号的谱估计和噪声的谱估计，通过设计出的滤波器来提高信噪比。习题1.有一信号s(n),其自相关函数:Rs(m)=|0.7|m,m=…-2,-1,0,12….，被一零均值，方差为0.4的白噪声所淹没，信号与噪声统计独立。设计一个长度等于3的FIR数字滤波器，使其输出值与真实信号之间的均方误差最小。