高中数学知识点

高中数学基础知识扫描一、集合与简易逻辑二、函数三、不等式四、三角函数五、数列六、向量七、解析几何八、立体几何九、排列、组合、二项式、概率十、导数一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。集合元素的互异性：如：)}lg(,,{xyxyxA，}|,|,0{yxB，求A；（2）集合与元素的关系用符号，表示。（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集、；整数集；有理数集、实数集。（4）集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2xxyxA}12|{2xxyyB}12|),{(2xxyyxC}12|{2xxxxD},,12|),{(2ZyZxxxyyxE}12|)',{(2xxyyxF},12|{2xyzxxyzG（5）空集是指不含任何元素的集合。（}0{、和}{的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。注意：条件为BA，在讨论的时候不要遗忘了A的情况。如：}012|{2xaxxA，如果RA，求a的取值。二、集合间的关系及其运算（1）符号“,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。（2）}{_________BA；}{_________BA；}{_________ACU（3）①若n为偶数，则n；若n为奇数，则n；②若n被3除余0，则n；若n被3除余1，则n；若n被3除余2，则n；（4）对于任意集合BA,，则：①ABBA___；ABBA___；BABA___；②ABA；ABA；UBACU；BACU；③BCACUU；)(BACU；三、集合中元素的个数的计算：（1）若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是。（2）BA中元素的个数的计算公式为：)(BACard；（3）韦恩图的运用：四、xxA|{满足条件}p，xxB|{满足条件}q，若；则p是q的充分非必要条件BA_____；若；则p是q的必要非充分条件BA_____；若；则p是q的充要条件BA_____；若；则p是q的既非充分又非必要条件_________五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的如：“sinsin”是“”的条件。六、反证法：步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。正面词语等于大于小于是都是至多有一个否定正面词语至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个否定一、映射与函数：（1）映射的概念：BA,是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的一个元素，在集合B中都有的元素与它对应；记作：；（2）一一映射：BA,是两个集合，BAf:是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的；在集合B中有；而且B中；（3）函数的概念：如果BA,都是，那么A到B的映射BAf:就叫做A到B的函数，记作；如：若}4,3,2,1{A，},,{cbaB；问：A到B的映射有个，B到A的映射有个；A到B的函数有个，若}3,2,1{A，则A到B的一一映射有个。函数)(xy的图象与直线ax交点的个数为个。二、函数的三要素：，，。相同函数的判断方法：①；②(两点必须同时具备)（1）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：如：已知221)1(xxxxf，求：)(xf；②换元法：如：已知34)13(xxf，求)(xf；③待定系数法：如：已知xxfff21)]}([{，求一次函数)(xf；④赋值法：如：已知)0(1)1()(2xxxfxf，求)(xf；（2）函数定义域的求法：①)()(xgxfy，则；②)()(*2Nnxfyn则；③0)]([xfy，则；④如：)(log)(xgyxf，则；⑤含参问题的定义域要分类讨论；如：已知函数)(xfy的定义域是]1,0[，求)()()(axfaxfx的定义域。⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为r，扇形面积为S，则)(rfS；定义域为。（3）函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2nmxcbxaxxf的形式；③判别式法：转化一个关于x的一元二次方程（其中y为参数），利用存在x使得方程成立，找方程有解的充要条件；适用题型：bafexdxcbxaxy,(22不全为)0；有两种情况：x无具体范围：直接套用0；注意：若得到的一元二次方程，二次项系数是含有y的多项式，此时要分类讨论。④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；适用题型cbxaxy；⑥基本不等式法：转化成型如：)0(kxkxy，利用平均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。求下列函数的值域：①])1,1[,,0,0(xbababxabxay（2种方法）；②)0,(,32xxxxy（2种方法）；③)0,(,132xxxxy（2种方法）；④)0,(,1322xxxxxy；⑤)0,(,322xxxxy（2种方法）；⑥xxy432；⑦2432xxy；⑧xxy442；三、函数的性质：（1）函数的单调性：对于给定区间上的函数)(xf，如果对于定义域内任意的21,xx；若，都有，则称)(xf为增函数；都有，则称)(xf为减函数；注意：（1）函数单调性的定义是证明函数单调性的基本方法。若函数是一个关于x的多项式，还可以通过求导证明：当时为增函数，当时为减函数。（2）单调性一般用区间表示，不能用集合表示。三、函数的性质：（2）函数的奇偶性：对于函数)(xf，如果定义域内任意的1x，都有，则称)(xf为奇函数；都有，则称)(xf为偶函数；奇函数的图象关于，偶函数的图象关于；注意：（1）研究函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域；（2）若函数)(xfy，Dx是奇函数，且D0，则；如：判断xxxy11)1(的奇偶性。关于函数的单调性和奇偶性的的结论：1、若奇函数)(xf在区间],[ba上单调递增（减），则)(xf在区间],[ab上是单调递；2、若偶函数)(xf在区间],[ba上单调递增（减），则)(xf在区间],[ab上是单调递；关于函数的单调性和奇偶性的的结论：3、既是奇函数又是偶函数的函数的解析式为；这样的函数有个。4、任意定义在R上的函数)(xf都可唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和：)()()(xhxgxf；其中)(xg是偶函数，)(xh是奇函数；（3）函数对称性的结论：设函数)(xfy的定义域为R，且满足条件：)()(xbfxaf，则函数)(xfy的图象关于直线对称；如：由)1()1(xfxf成立，则)(xf关于对称；注意：)(xafy与)(xbfy关于对称；（4）函数的周期性：对于函数)(xf，如果存在不为零的常数T，对于定义域内的每一个值，都有则函数)(xfy为周期函数，叫周期；关于函数周期性的结论：若函数)(xfy既关于直线ax对称，又关于)(babx对称，则)(xfy一定是周期函数，且T是它的一个周期；四、图形变换：（1）平移变换：①形如：)(axfy：把函数)(xfy的图象沿方向向或平移个单位，就得到)(axfy的图象。②形如：axfy)(：把函数)(xfy的图象沿方向向或平移个单位，就得到axfy)(的图象。（2）对称翻转变换：①形如：)(xfy：其函数图象与函数)(xfy的图象关于对称。②形如：)(xfy：其函数图象与函数)(xfy的图象关于对称。③形如：)(1xfy：其函数图象与函数)(xfy的图象关于对称。④形如：)(xfy：其函数图象与函数)(xfy的图象关于对称。⑤形如|)(|xfy：这是偶函数。其图象是关于y轴对称的，所以只要先；再；就得到了|)(|xfy的图象。⑥形如：|)(|xfy：将函数)(xfy的图象；就得到函数|)(|xfy的图象。（3）伸缩变换：①形如：)0)((xfy：将函数)(xfy的图象横坐标（纵坐标不变）缩小（1）或伸长（10）到原来的1倍得到。②形如：)0)((AxAfy：将函数)(xfy的图象纵坐标（横坐标不变）伸长（1A）或压缩（10A）到原来的A倍得到。如：)(xfy的图象如图，作出下列函数图象：（1）)(xfy；（2）)(xfy；（3）|)(|xfy；（4）|)(|xfy；（5）)2(xfy；（6）)1(xfy；（7）1)(xfy；（8）)(xfy；（9）)(1xfy。xOyy=f(x)(2,0)(0,-1)五、反函数：（1）定义：设)(xfy表示y是自变量x的函数，它的定义域为A，值域为C，由式子)(xfy解出x，得到式子)(yx，如果对于y在C中的任何一个值，通过式子)(yx，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子)(yx就表示x是自变量y的函数，这样的函数)(yx，叫做)(xfy的反函数，记为)(1yfx，即)()(1yfyx，习惯上仍用x表示自变量，y表示函数，把它改写成)(1xfy。（2）函数存在反函数的条件：；（3）互为反函数的定义域与值域的关系：；（4）求反函数的步骤：①将)(xfy看成关于x的方程，解出)(1yfx，若有两解，要注意解的选择；②将yx,互换，得)(1xfy；③写出反函数的定义域（即)(xfy的值域）。（5）互为反函数的图象间的关系：；（6）原函数与反函数具有相同的单调性；（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。如：求下列函数的反函数：)0(32)(2xxxxf；122)(xxxf；)0(21log)(2xxxxf六、复合函数：（1）定义：如果y是u的函数，记为)(ufy，u又是x的函数，记为)(xgu，且)(xg的值域与)(uf的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函数)]([xgfy，这时y做x的复合函数，其中u叫做中间变量，)(ufy叫做外层函数，)(xgu叫做内层函数。（2）复合函数单调性：；七、常用的初等函数：（1）一元一次函数：)0(abaxy当0a时，是增函数；当0a时，是减函数；（2）一元二次函数：一般式：)0(2acbxaxy；对称轴方程是；顶点为；两点式：))((21xxxxay；对称轴方程是；与x轴的交点为；顶点式：hkxay2)(；对称轴方程是；顶点为；①一元二次函数的单调性：当0a时：为增函数；为减函数；当0a时：为增函数；为减函数；②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为hkxay2)(的形式，Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则0a时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；0a时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则0a时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；0a时