级数的定义正项级数

高等微积分讲义2.1第2讲级数的定义、正项级数§1级数的定义与性质1级数的定义数列{}nx各项之和12nxxx++++称为无穷级数，记作1nnx∞=∑，nx称为级数的一般项。上面这样的和式是否有意义？一般来说，无穷多项求和可能是没有意义的，如本章一开始列举的欧拉的例子()()1111+−++−+就是这样的。因此我们不能将有限项求和的概念直接应用到无穷多项求和，必须要对无穷多项求和一个明确的定义。定义：对于无穷级数1nna∞=∑，令：1nnkkSa==∑，称为无穷级数的部分和，若：1)limnnSS→∞=是有限值，称无穷级数收敛到S；2)limnnS→∞=∞或极限不存在，称无穷级数发散。另外，若无穷级数收敛，则nnrSS=−称为级数的余和。2基本性质由于级数收敛的定义是从其部分和的极限来的，因而有关数列的的性质均有其对应的规则在无穷级数中出现，并且可以应用数列极限的性质来研究级数的性质。下面就是级数的最基本的性质：性质1：级数1nna∞=∑，1nnb∞=∑收敛，,αβ是任意常数，则级数()1nnnabαβ∞=+∑也收敛，且：()111nnnnnnnababαβαβ∞∞∞===+=+∑∑∑。该性质称为级数的线性性质。性质2：级数1nna∞=∑与另一级数11knnkbba∞=++++∑同时收敛或发散。该性质说明改变级数中有限项的数值不会改变级数的收敛性。上面两个性质均可以从级数收敛的定义直接推出。级数的定义、数项级数2.2性质3（收敛级数的结合律）：级数1nna∞=∑收敛，则对其和式任意结合（加括号），得到的新级数：()()()1121111kknnnnnaaaaaa++++++++++++仍然收敛到同一和数。证明：记：1nnkkSa==∑，加括号级数的部分和记作nA，则由定义有：1111nnAaaS=++=，()()1122211nnnnAaaaaS+=+++++=,()()1111kkkknnnnAaaaaS−+=++++++=，显然，数列{}nA是数列{}nS的子列，因而由nS收敛可以推出nA收敛到同一数值。证毕附注：该命题的逆命题是不成立的。性质4（收敛级数的必要条件）：若级数1nna∞=∑收敛，则：lim0nna→∞=。证明：由于1nnnaSS−=−，由于级数收敛，limnnSS→∞=，所以：0na→。证毕附注：该命题的逆命题同样不成立的。考虑反例：11ln1nn∞=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠∑。性质5（Cauchy收敛原理）：级数1nna∞=∑收敛的充分必要条件是0ε∀，0N∃，当nN时：p∀∈N，有：1nnpaaε++++。该性质的证明是显然的，只需应用数列{}nS的Cauchy收敛原理即可。例1.讨论级数11nnr∞−=∑（r为常数）的收敛性。解：易得：11nnrSr−=−，因此：1r时，1lim1nnSr→∞=−，级数收敛；高等微积分讲义2.31r≥时：limnnS→∞=∞或者不存在，级数发散。例2.讨论级数211nn∞=∑的收敛性。解：利用Cauchy收敛原理来判断级数的收敛性。对于p∀∈N，有：()()()()()2211011111111npnSSnnpnnnpnpnnpn+−=++++++++−+=−+所以：0ε∀，10Nε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，当nN时：p∀∈N，有：1nnpaaε++++，所以级数收敛。附注：该级数的和为26π，利用后面讲到的Fourier级数可以求出。阅读材料：Euler曾经应用“不规范”的方法求出如下的Riemann-Zeta函数的值：考虑函数sinx在实轴上的零点：0,,2,,,nπππ±±±，由于在这些零点上函数的导数值均不为零，因此每一个零点均为单根，考虑到0sinlim1xxx→=，有下面的表达式：22222222sin1112xxxxxnπππ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠另一方面，考虑函数sinx在0x=点附近的Taylor展式，有：()()3521sin13!5!21!nnxxxxxn+=−+−+−++即有：()()242sin113!5!21!nnxxxxxn=−+−+−++将sinxx的无穷乘积式进行展开，与上式比较2x项的系数，得到：22222111123!nπππ−−−−−=−即：22211126nπ++++=级数的定义、数项级数2.4类似的方法，可以求得Riemann-Zeta函数()11xkxkζ∞==∑在2xn=时的值。据说Euler曾经计算到13n=的值。一般地，有()22nnnAnBζπ=，其中nA、nB由下表给出：nnAnB()2nζ1161.6449340668482264364724151666521901.08232323371113819151600369654319451.017343061984449139714517929794194501.0040773561979443393786852385151935551.0009945751278180853371459589166916385128751.0002460865533080482986379980572182432251.00006124813505870482925854510836173256415662501.00001528225940865187173257149943867389792954801251.000003817293264999839856461651017461115313294652906251.0000009539620338727961131520511155366134478569406431251.00000023845050272773299000365122363640912019195719637565218751.00000005960818905125947961244131315862110944819760305781251.000000014901554828365041234671467855602945646536601700762736718751.0000000037253340247884570548215689267302080456608788046690826740700156251.00000000093132743241966818287167709321041217624902205710223412072664062501.0000000002328311833676505492117151628697551121304545814337485872928906251.000000000058207720879027008901826315271553053477373207779775618665885864876286620449218751.000000000014551921891041984251930842041198332224034676184923757763432768839843751.0000000000036379795473786511920261082718496449122051200804311722896388267984011283905566406251.0000000000009094947840263889321304019528783614160538223077891898189601277125944278646674277343751.00000000000022737368458246526225060594468963822588186379136795470257735267069084577766791699218751.000000000000056843419876275872310373062810328907187442876701022144483010530333584806102125294628906251.0000000000000142108548280316124560940336899781768624912754740936486033842749965196989214788795801622866699218751.00000000000000355271369133712附注：Euler的方法哪些步骤是不严格的？结果为什么会正确？高等微积分讲义2.5§2正项级数对于级数收敛性的讨论，我们从简单的开始。若0na≥，则称级数1nna∞=∑为正项级数，由于正项级数的部分和是单调上升的，因此有：命题：正项级数1nna∞=∑收敛的充分必要条件是其部分和是有界的。此命题十分重要，因为有了它，对正项级数收敛性的讨论才十分简单。例3.设0na≥，na单调下降，则级数1nna∞=∑收敛⇔级数212nnna∞=∑收敛。证明：记：1nnkkSa==∑，212knknkTa==∑；“⇒”由于1nna∞=∑收敛，所以nS有界，设nSS≤，则：()()()2112222212342122212222222222222222knnnnnnnknnkTaaaaaaaaaaaaaSS−−=++==+++≤+++++++≤+++=≤∑因此nT有界，即级数212nnna∞=∑收敛；“⇐”级数212nnna∞=∑收敛，所以nT有界，记：nTT≤，n∀∈N，k∃∈N，使得：2kn≥，因此：()()()1121121123472212121122222kkkknnkkSaaaaaaaaaaaaaaaaTaT++−−=++≤++=+++++++++≤++++=+≤+即nS有界，所以级数1nna∞=∑收敛。附注：例3可以用来判别正项级数11pnn∞=∑（0p）的收敛性：1p级数收敛，1p≤级数发散。级数的定义、数项级数2.6§3习题1.若1nna∞=∑是收敛的正项级数，{}na单调下降，求证：lim0nnna→∞=。2.若1nna∞=∑与1nnb∞=∑均为收敛级数，n∀∈N，nnnacb≤≤，求证：1nnc∞=∑收敛。3.讨论下列级数的敛散性：1)()()111166115451nn++++−+iii；2)2313521nn+++++−；3)22111111232323nn⎛⎞⎛⎞⎛⎞+++++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠；4)()()11114473231nn++++−+iii；5)coscoscos342nπππ+++++。4.利用Cauchy收敛原理判别下列级数是否收敛？1)2012nnaaqaqaq+++++，1q，naA≤，n∈N；2)1111111112345632313nnn+−++−+++−+−−。5.设有正项级数1nna∞=∑，试证明若对其加括号后所组成的级数收敛，则1nna∞=∑收敛。6.确定是下列级数收敛的x的范围。1)()011nnx∞=+∑；2)()1lnnnx∞=∑。