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2019年春华师版数学七年级下册课件第6章一元一次方程培优专题动点问题与一元一次方程第6章一元一次方程培优专题动点问题与一元一次方程所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目，解决这类问题的关键是动中求静，灵活应用有关数学知识解决问题．1．线段上的动点问题，常常需要用到两点间的距离、线段的和差关系、线段中点的性质等，结合一元一次方程解决速度类问题．2．数轴上的动点问题，先明确以下几个问题：方法管理[学生用书P25]第一，数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差，即数轴上两点间的距离＝右边点表示的数－左边点表示的数．第二，点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度，这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标，即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a－b；向右运动b个单位后表示的数为a＋b.第三，数轴是的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系．数形结合归类探究[学生用书P25]类型之一数轴上的动点问题[2017春·浦东新区期中]如图，点A、B在数轴上表示的数分别为－12和8.两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒．(1)运动____秒时，两只蚂蚁相遇在点P，点P在数轴上表示的数是____；(2)若运动t秒时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值．(写出解题过程)4－4解：(1)设运动x秒时，两只蚂蚁相遇在点P，根据题意，得2x＋3x＝8－(－12)，解得x＝4，则－12＋2×4＝－4.故运动4秒时，两只蚂蚁相遇在点P，点P在数轴上表示的数为－4.(2)运动t秒时，蚂蚁M向右移动了2t，蚂蚁N向左移动了3t.若在相遇之前距离为10，则有2t＋3t＋10＝20，解得t＝2.若在相遇之后距离为10，则有2t＋3t－10＝20，解得t＝6.综上所述，t的值为2或6.【变式跟进】1．[2018秋·江都区期末]若一数轴上存在两动点，当第一次相遇后，速度都变为原来的两倍，第二次相遇后又都能恢复到原来的速度，则称这条数轴为魔幻数轴．如图，已知一魔幻数轴上有A、O、B三点，其中A、O对应的数分别为－10、0，AB为47个单位长度，甲、乙分别从A、O两点同时出发，沿数轴正方向同向而行，甲的速度为3个单位/秒，乙的速度为1个单位/秒，甲到达点B后以当时速度立即返回，当甲回到点A时，甲、乙同时停止运动．问：(1)点B对应的数为____，甲出发____秒后追上乙(即第一次相遇)；(2)当甲到达点B立即返回后第二次与乙相遇，求出相遇点在数轴上表示的数是多少？(3)甲、乙同时出发多少秒后，二者相距2个单位长度？(请直接写出答案)375解：(1)点B对应的数为－10＋47＝37.设甲出发x秒后追上乙(即第一次相遇)．依题意，有(3－1)x＝10，解得x＝5.故甲出发5秒后追上乙(即第一次相遇)．(2)－10＋5×3＝－10＋15＝5，37－5＝32，32×2÷(3×2＋1×2)＝8(秒)，5＋1×2×8＝21.故相遇点在数轴上表示的数是21.(3)第一次相遇前后相距2个单位长度，5－2÷(3－1)＝5－1＝4(秒)，5＋2÷(3－1)＝5＋1＝6(秒)；第二次相遇前后相距2个单位长度，5＋8－2÷(3×2＋1×2)＝12.75(秒)，5＋8＋2÷(3×2＋1×2)＝13.25(秒)．综上所述，甲、乙同时出发4秒或6秒或12.75秒或13.25秒后，二者相距2个单位长度．2．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB＝14.动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒．(1)数轴上点B表示的数为_______，点P表示的数为_______(用含t的代数式表示)；(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若点P、Q同时出发，问：点P运动多少秒时追上点Q？－68－5t(3)若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；(4)若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子|x＋6|＋|x－8|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．解：(2)设点P运动x秒时，在点C处追上点Q(如答图1)，则AC＝5x，BC＝3x.∵AC－BC＝AB，∴5x－3x＝14，解得x＝7，∴点P运动7秒时追上点Q.(3)没有变化．分两种情况：①如答图2，当点P在点A、B两点之间运动时，MN＝MP＋NP＝12AP＋12BP＝12(AP＋BP)＝12AB＝7；答图1答图2②如答图3，当点P运动到点B的左侧时，MN＝MP－NP＝12AP－12BP＝12(AP－BP)＝12AB＝7.综上所述，线段的长度不发生变化，其值为7.(4)式子|x＋6|＋|x－8|有最小值，最小值为14.答图3类型之二线段上的动点问题[2018秋·青龙县期末]如图，已知△ABC中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝1.97in，动点P从点A出发，速度为2cm/s，同时，动点Q从点B出发，速度为1cm/s，P、Q两点都逆时针沿△ABC三边运动，设运动的时间是t(s)．(1)用含t的代数式表示下列线段的长度：当点P在线段AB上运动时，AP＝，PB＝；当点P在线段BC上运动时，PB＝，PC＝；(2)当点P在AB上运动时，t为何值，PB＝2BQ?(3)经过多少秒后，点P、Q第一次重合？说明重合点的位置．2tcm(8－2t)cm(2t－8)cm(14－2t)cm解：(1)当点P在线段AB上运动时，AP＝2tcm，PB＝AB－AP＝(8－2t)cm，当点P在线段BC上运动时，PB＝(2t－8)cm，PC＝(14－2t)cm.(2)点P在AB上运动时，0≤t≤4.∵PB＝2BQ，∴8－2t＝2×t，∴t＝2，∴当t＝2时，PB＝2BQ.(3)若点P、Q第一次重合，则2t＝8＋t，即t＝8.∵当t＝8时，点Q运动8cm，而BC＝6cm，AC＝5cm，∴重合点的位置在AC边上，距点C2cm处．即经过8s后，第一次重合，重合点的位置在AC边上，距点C2cm处．【变式跟进】3．[2018秋·句容市期末]如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm.点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→D→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了3cm，并沿B→C→D→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，继续沿原路径匀速运动，3s后两点在长方形ABCD某一边上的点E处第二次相遇后停止运动．设点P原来的速度为xcm/s.(1)点Q的速度为______cm/s；(用含x的代数式表示)(2)求点P原来的速度；(3)判断点E的位置并求线段DE的长．2x解：(2)根据题意，得3(x＋3)＋3×2x＝24，解得x＝53.答：点P原来的速度为53cm/s.(3)(53＋3)×3－8－4＝2(cm)，此时点E在AD边上，且DE＝2.