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机械优化设计主编孙靖民第七章第七章第一节多目标优化问题第二节多目标优化方法第三节离散变量优化问题第四节离散变量优化方法第一节多目标优化问题第二节多目标优化方法一、主要目标法二、统一目标法1.线性加权和法2.极大极小法3.理想点法与平方和加权法4.分目标乘除法5.功效系数法——几何平均法1.线性加权和法2.极大极小法2.极大极小法图7-2极大极小法求解示意图3.理想点法与平方和加权法4.分目标乘除法5.功效系数法——几何平均法2)折线法。图7-32)折线法。图7-43)指数法。图7-5三、协调曲线法三、协调曲线法图7-8两个目标函数的等值线和约束边界三、协调曲线法图7-9协调曲线四、分层序列法及宽容分层序列法四、分层序列法及宽容分层序列法采用分层序列法，在求解过程中可能会出现中断现象，使求解过程无法继续进行下去。当求解到第k个目标函数的最优解是惟一时，则再往后求第(k+1)，(k+2)，…，l个目标函数的解就完全没有意义了。这时可供选用的设计方案只是这一个，而它仅仅是由第一个至第k个目标函数通过分层序列求得的，没有把第k个以后的目标函数考虑进去。尤其是当求得的第一个目标函数的最优解是唯一时，则更失去了多目标优化的意义了。为此引入“宽容分层序列法”。这种方法就是对各目标函数的最优值放宽要求，可以事先对各目标函数的最优值取给定的宽容量，即ε10，ε20，…。这样，在求后一个目标函数的最优值时，对前一目标函数不严格限制在最优解内，而是在前一些目标函数最优值附近的某一范围内进行优化，因而避免了计算过程的中断。图7-12宽容分层序列法最优解五、多目标优化的主要方法及其特点、思路和步骤•..\..\MyDocuments\MyPictures\QQ截图未命名.png第三节离散变量优化问题目前，解线性整数规划的方法较多，而解非线性整数规划及离散规划的方法还有不少值得研究的课题。现在已有一些专著论述整数规划及离散规划的求解方法，本章将简要说明其处理的方法。以往处理离散变量的一种最简易方法是先将这种设计变量视为连续变量来处理，在得出优化解后，圆整成最近的值。这种方法虽简单易行，但有很大盲目性，主要是圆整后的值不在可行域以内的可能性很大，因为很多约束条件，是用“小于”及“等于”某一界限来表示。通常优化解多半只满足于“等于”条件，也就是说，优化解一般是在某一条等值线与可行域边界的切点上，即在可行域的边界上。圆整后的优化解，可能落于非可行域中，从而破坏了约束条件，不能作为整数优化解。纠正这个缺点的方法是校核未取整前优化解附近的所有整数点或离散点，以保证不出现上述圆整后违反约束条件的情况。但这样做需较长的计算时间。此外，在多维空间中，未取整前优化解的附近有多少个整数点也较难确定。并且不能排除在离未取整前优化解较远处的整数点恰恰是真正优化解的可能性。另外，有些设计变量是不允许最后取整的。例如，设计变位齿轮传动，优化结果是非整数的齿数，非标准的模数及变位系数，如果将齿数圆整，模数取标准以后，原优化结果的变位系数就变得毫无意义了。为此，需对离散变量优化问题作为专门的课题予以研究讨论。第四节离散变量优化方法一、约束非线性离散变量优化方法(一)以连续变量优化方法为基础的方法(一)以连续变量优化方法为基础的方法1.整型化，离散化法(圆整法、凑整法)该法的特点是先按连续变量方法求得优化解x*，然后再进一步寻找整型量或离散量优化解，这一过程称为整型化或离散化。该法是在求得连续变量优化解x*后，不是用简单的圆整方法来寻优，而是在x*点附近按一定方法进行搜索来求得优化离散解。该法虽比前述圆整法前进了一步，但因仍是在连续变量优化解附近邻域进行搜索，往往也不可能取得正确的离散优化解。2.拟离散法3.离散惩罚函数法若将设计变量的离散性视为对该变量的一种约束条件，则可用连续变量的优化方法来计算离散变量问题的优化解。按此思想可以用Lagrange乘子法或SUMT法等连续变量优化方法为基础作些变换后，再用作求解离散变量的优化问题。由于有些方法只适用于凸函数或可分离函数等特殊情况，不具有普遍性，因此在此不作介绍。(二)离散变量搜索型方法(二)离散变量搜索型方法(三)分支定界法(三)分支定界法(三)分支定界法(四)离散变量型网格法1.离散变量型普通网格法2.离散变量型正交网格法1.离散变量型普通网格法2.离散变量型正交网格法(五)离散变量的组合型法1.初始复合形顶点的形成2.离散一维搜索产生新点3.约束条件的处理4.重新启动技术5.组合型算法终止准则6.组合型算法的辅助功能1.初始复合形顶点的形成图7-22初始复合形形成2.离散一维搜索产生新点3.约束条件的处理图7-23有效目标函数性态示意图4.重新启动技术由上所述沿S方向进行离散一维搜索只是目标函数可能的下降方向，只能表明其下降概率较大，但不一定能保证是下降方向，也就不一定能求得好的离散点。当出现这种情形时，需要采用重新启动技术，它属于算法的一个辅助功能。但它与离散复合形产生合适的新点关系十分密切。重新启动技术可以有两种方法：一是改变搜索基点和搜索方向；二是离散复合形的各顶点向最好顶点收缩。5.组合型算法终止准则6.组合型算法的辅助功能(1)直线加速与二次曲线加速当目标函数严重非线性时，即若函数具有尖峰脊线，即存在“谷”时，则希望能沿着脊线方向进行搜索，可迅速提高算法的寻优效率，该算法称为具有脊线加速能力。(2)网格搜索法技术将离散空间视为一网格空间，每个离散点就是一个网格节点。(3)变量分解策略将目标函数中的变量分成若干个子集合，若当各个子集合内的变量相互影响，而各子集合之间的变量互不影响或影响很小时，可将坐标轮换法的思想推广到子空间轮换搜索法中。6.组合型算法的辅助功能(4)贴界搜索技术当优化解落在变量上界或下界或某一边界时，这时用常规离散复合形法寻优常常表现有跳跃性，所以不易求得优化解。(5)反射技术当满足终止准则时，其离散复合形的最好顶点，只是在一个增量尺寸范围内的最好点。(6)重开始技术为避免输出伪优化点，采用重开始技术，即将第一次所得优化解作为初始点，并以此点作为基点重新构造初始离散复合形，重新进行调优搜索，直到前后两次离散复合形运算的优化点重合，算法才最终结束。6.组合型算法的辅助功能图7-24有脊线目标函数寻优过程示意图二、离散变量优化的主要方法及其特点、思路和步骤表7-3离散变量优化的主要方法及其特点和步骤二、离散变量优化的主要方法及其特点、思路和步骤表7-3离散变量优化的主要方法及其特点和步骤二、离散变量优化的主要方法及其特点、思路和步骤表7-3离散变量优化的主要方法及其特点和步骤