陕西省专升本考试高等数学真题2012年

陕西省专升本考试高等数学真题2012年(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：25.00)1.x=0是函数的______（分数：5.00）A.可去间断点√B.连续点C.无穷间断点D.跳跃间断点解析：[解析]，因此x=0为f(x)的可去间断点．2.设，则不定积分______A．2ex+cB．C．D．2e2x+c（分数：5.00）A.B.C.√D.解析：[解析]由，得3.函数在点x=1处______（分数：5.00）A.可导且f(1)=2√B.不可导C.不连续D.不能判定是否可导解析：[解析]由题可求得x=1处左导数为2，右导数也为2，故A正确．4.设级数收敛于S，则级数收敛于______（分数：5.00）A..SB.2SC.2S+u1D.2S-u1√解析：[解析]5.微分方程的通解为______（分数：5.00）A.ey+ex=CB.ey-ex=C√C.e-y+ex=CD.e-y-ex=C解析：[解析]由，得eydy=exdx，积分，得ey=ex+C，即ey-ex=C．二、填空题(总题数：5，分数：25.00)6.设函数在x=0处连续，则a的值为1．（分数：5.00）解析：-1[解析]，令a+1=0，得a=-1．7.设函数f(x)在点x0处可导，且f(x0)=2，则的值为1．（分数：5.00）解析：4[解析]8.设函数f(x，y，z)=x2+y2+z2，则函数f(x，y，z)在点(1，1，-1)处的梯度gradf(1，1，-1)为1．（分数：5.00）解析：2(i+j-k)[解析]，故gradf(1，1，-1)=2i+2j-2k．9.设方程确定函数y=y(x)，则（分数：5.00）解析：[解析]方程两边对x求导，得即，即10.曲面z=x2+2y2-1在点(1，1，2)处的切平面方程为1．（分数：5.00）解析：2x+4y-z-4=0[解析]令F=x2+2y2-z-1，即为切平面的一个法向量，故切平面方程为2(x-1)+4(y-1)-(z-2)=0，即2x+4y-z-4=0．三、计算题(总题数：10，分数：80.00)11.求极限（分数：8.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：12.设参数方程确定函数y=y(x)，求（分数：8.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：又所以13.设函数的单调区间和极值．（分数：8.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：令f(x)=0，得驻点，f(x)在x=0处不可导，当x＜0时，f(x)＞0；当时，f(x)＜0；当时，f(x)＞0，故函数f(x)在区间(-∞，0]和内单调增加，内单调减少．函数f(x)在x=0取得极大值f(0)=0，在处取得极小值14.设函数，其中f具有二阶连续偏导数，求（分数：8.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：15.计算定积分（分数：8.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：16.计算二重积分，其中D是由圆与直线y=x及y轴所围成第一象限的区域．（分数：8.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：17.将函数展开为(x-1)的幂级数，指出展开式成立的区间，并求级数的和．（分数：8.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：即-1＜x＜3，当x=0时，得18.设函数，求函数ｆ(ｘ，y，z)的偏导数及在点(1，1，1)处的全微分df(1，1，1)．（分数：8.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：19.设L为取正向的圆周x2+y2=4，计算曲线积分（分数：8.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：20.求微分方程y-y=3e2x满足初始条件的特解．（分数：8.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：特征方程r2-1=0,r1,2=±1，对应齐次方程的通解为y=C1ex+C2e-x，求出其一个特解为y*=e2x，其通解为：y=C1ex+C2e-x+e2x，由得C1+C2+1=1，y=C1ex-C2ex+2e2x，由y|x=0=4得C1-C2+2=4，解出C1=1，C2=-1，满足初始条件的特解为y=ex-e-x+e2x．四、应用题与证明题(总题数：2，分数：20.00)21.设曲线方程y=1-x2，(1)求该曲线及其在点(1，0)和点(-1，0)处的法线所围成的平面图形的面积；(2)求上述平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：y=-2x，曲线在点(1，0)处的法线方程为，即曲线在点(-1，0)处的法线方程为，即(1)所求面积为(2)所求体积为方法一方法二22.设函数f(x)在[0，1]上连续，且，证明：在(0，1)内至少存在一点ξ，使得（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：[证明]设则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=0，由Rolle定理知，至少存在一点ξ∈(0，1)，得使即