高等代数第一学期总复习

第一章多项式一元多项式理论，主要讨论了三个问题：三、根的理论(多项式函数,根的个数)。一、整除性理论(整除,最大公因式,互素)；二、因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式)；其中整除性是基础，因式分解是核心。一、基本概念.(3)多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数项(最高次项系数)的乘积。2．基本结论:(1)多项式的加法,减法和乘法满足一些运算规律.1.一元多项式(零多项式),多项式的次数。多项式的相等，多项式的运算，一元多项式环。(()())max((()),(())),(()())(())(()).fxgxfxgxfxgxfxgx(2)二、整除性理论g(x)除f(x)的余式r(x)=0。(),()[]()0,()|()fxgxPxgxgxfx，(2)设1.整除的概念及其基本性质.2.带余除法.(1)带余除法定理.()()()()fxqxgxrx多项式的整除性不因数域的扩大而改变.1).任一多项式整除它自身；零多项式能被任一多项式整除；零次多项式整除任一多项式．整除的性质.2)若，则()|(),,(0).afxbgxabPa()|()fxgx3)若()|()()|(),gxfxfxgx，则()()0.fxcgxc＝，4)若()|()()|()()|fxgxgxhxfxhx，，5)若()|()1,2,,ifxgxi=r，则对()[],1,2,,iuxPxi=r有1122()|(()()()()())rrfxuxgxuxgxuxgx3.综合除法去除①求一次多项式xafx的商式及余式．②把fx表成xa的方幂和.)()()()()(xdxvxgxuxf(4).((),())1(),():()()()()1fxgxuxvxfxuxgxvx4.最大公因式和互素.(3)设d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式,则(1)最大公因式,互素的概念.(2)最大公因式的存在性和求法-----辗转相除法.反之不然.()()()()fxqxgxrx(f(x),g(x))=(g(x),r(x))(5).()|()(),((),())1()|().fxgxhxfxgxfxhx()|(),()|(),((),())1()()|()fxhxgxhxfxgxfxgxhx(6)多个多项式的互素.(7)最小公倍式.).(|)()(|)()()(|)(,1))(),((),(|)(][)(xgxporxfxpxgxfxpxfxporxfxpxFxf(2).不可约多项式p(x)有下列性质:(3).整系数多项式在有理数域上可约⇔它在整数环上可约.(4).艾森斯坦判断法.三、因式分解理论1.不可约多项式(1).不可约多项式的概念.2.因式分解的有关结果:(1)因式分解及唯一性定理.(2)次数大于零的复系数多项式都可以分解成一次因式的乘积.(3)次数大于零的实系数多项式都可以分解成一次因式和二次不可约因式的乘积.))(),(()(xfxfxf(2).若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k≥1)。则p(x)是f’(x)的k-1重因式。1))(),((xfxf(3).f(x)没有重因式(4)消去重因式的方法:是一个没有重因式的多项式,它与f(x)具有完全相同的不可约因式.3.重因式(1).重因式的概念.1.多项式函数,根和重根的概念。四、多项式根的理论.0)()(|cfxfcx2.余数定理：x-c去除f(x)，所得的余式为常数。5.代数基本定理：每个n(n≥1)次复系数多项式在复数域中至少有一个根。因而n次复系数多项式恰n有个复根(重根按重数计算)。3.有理系数多项式的有理根的求法。4.实系数多项式虚根成对定理。7.根的个数定理：P[x]中n(n≥0)次多项式在数域P中至多有n个根。难点:最大公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别。6.韦达定理。8.多项式函数相等与多项式相等是一致的。重点:一元多项式的因式分解理论。f(X)g(X)x4+x3-x2-2x+1x3+2x2-3q1(X)x4+2x3-3x-x3-x2+x+1-x3-2x2+3r1(x)=x2+x-2q2(X)x3+x2-2xx2+2x-3x2+x-2r2(x)=x-1=(x-1)(x+2)所以(f,g)=r2(x)=x-1.,22111rqrgrgqf.)1(.)(21221212gqqfqqgqfgqrgr=x-1=x+1多项式的根和系数的关系.)())(()(210111nnnnnnxxxaaxaxaxaxfVieta设定理：nnnaa121则nnnnaa213121nnnnaa11211)1(.)1(021nnnaa二、三阶行列式推广（对角线法则）逆序数对换n阶行列式定义性质展开解方程组（利用代数余子式）（Cramer法则）第二章行列式逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列．在一个排列中，若数，则称这两个数组成一个逆序．12tsniiiiiLLLtsii一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数．逆序数定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．对换1212111212122212121nnntnppnppppnnnnaaaaaaDaaaaaaLLLLLLLLLLLLn阶行列式的定义.,,2,1;;,,2,12121取和的所有排列表示对个排列的逆序数为这的一个排列为自然数其中ntnppppppnn.,21212121)1(的逆序数为行标排列其中亦可定义为阶行列式ppptDDnnnpppppptaaann:阶行列式的性质n共七个性质，一定要熟记且能灵活运用。１）余子式与代数余子式.,)1(1的代数余子式叫做元素；记的余子式，记作阶行列式叫做元素列划去后，留下来的行和第所在的第阶行列式中，把元素在ijijijjiijijijijaAMAManjian行列式按行（列）展开：定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,2211ininiiiiAaAaAaDni,,2,12)行列式按行（列）展开法则3）关于代数余子式的重要性质.,0;,1.,0;,.,0;,11jijijijiDDjijiDDijijjknkikijkjnkkiAaAa当当其中　　　当当或当当Cramer法则.,,,2,1.,,2,1,,0.,,122112222212111212111所得到的行列式，换成常数项列中第）是把系数行列式（其中那么它有唯一解的系数行列式如果线性方程组２bbbxbxaxaxabxaxaxabxaxaxanjjjnnnnnnnnnnjDnjDnjDDDCramer法则的理论价值.,0.,,22112222212111212111唯一那么它一定有解，且解的系数行列式如果线性方程组Dbxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnnn.必为零解，则它的系数行列式解或有两个不同的如果上述线性方程组无定理定理.,0.0,0,0221122221211212111那么它没有非零解的系数行列式如果齐次线性方程组Dxaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnnnnn.它的系数行列式必为零组有非零解，则如果上述齐次线性方程定理定理第三章线性方程组一、.向量的线性关系n维向量，向量的线性运算，线性组合，线性表出，线性相关，线性无关，极大线性无关组，向量组的秩，向量组等价.1．基本概念：2．主要结论：的充要条件是其中有一个向量是可以由其余的向量线性表出.1)向量组线性相关s,,,21)2(s2）设向量组s,,,21,线性无关，而,,,,21s线性相关，那么向量组可由s,,,21线性表出，而且表示法唯一.3)设向量组r,,,21中每一个向量必线性相关.s,,,21的线性组合，都是向量组srr,,,21，那么向量组而且3.向量组线性相关的判定：1)根据定义；2)计算以向量组为行(列)的矩阵的秩；二、矩阵的秩2.矩阵的初等变换1)初等变换不改变矩阵的秩；2)用初等变换计算矩阵的秩；1.矩阵的秩矩阵的秩=矩阵行(列)向量组的秩，矩阵的行(列)秩=不为零的子式的最大级数.三、线性方程组的解的情形有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,,(1)1.线性方程组有解的判定：1)当R(A)=R()=n，方程组(1)有唯一解；A2）当R(A)=R()=rn，方程组(1)有无穷多解.A3．齐次线性方程组的解的情形：0,0,0221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa总是有解.(2)2.线性方程组的解的个数：1)当R(A)=n，方程组(2)只有零解；2）当R(A)=rn，方程组(2)有非零解.四、线性方程组的解的结构1)齐次线性方程组的基础解系.2)当R(A)=rn，方程组(2)的任意n-r个线性无关的解向量都是rn,,,21它的基础解系，(2)的全部解可表示为：rnrnkkk2211rnkkk,,,21其中是任意的数.3）当R(A)=R()=rn，如果是线性方程组(1)的一个特解，是(1)的相应A0rn,,,21导出组(2)的基础解系，那么线性方程组(1)的任一个解都可表示为：rnrnkkk22110rnkkk,,,21其中是任意的数.对于非齐次线性方程组:一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩三、基础解系的证法四、解向量的证法典型例题?,,,,:,,,,,,,21221121其线性组和为零向量也使得的数是否存在一组不全为零一个自然的问题是那么零向量一个特殊向量其结果为向量空间中的时线性组合的结合物量空间中两种基本运算当我们考虑到向而言的定的向量组概念都是针对一个特线性相关与线性无关的kkkkkkmmmm一、向量组线性关系的判定.0,0,,,;,;,.:221121mmmkkkkkk才有时当指的是当且仅所谓不存在该向量组线性无关则称若不存在则称该向量组线性相关若存在关与线性无关的概念然而然地提出了线性相也就自这样存在或不存在答案只有两种线性相关与线性无关还可以通过线性表出的概念来体现，即看其中有无某个向量(不是任意一个向量)，可由其余向量线性表出？此外，还应注意到：线性相关与线性无关是对立的两个概念，据此，在论证某些相关型问题时，我们往往采用反证法。研究这类问题一般有两个方法方法1从定义出发000,0212222121121112211aaakaaakaaakkkkmnmmmnnmm令整理得线性方程组)(,0,0,022112222112