矩阵论的应用

1矩阵论的应用摘要矩阵论是工程数学中的重要组成部分，而矩阵函数理论是矩阵理论的一个重要组成部分。矩阵函数把对矩阵的研究带入分析领域。同时也解决了数学领域及工程技术等其它领域的计算难题。本文介绍借助矩阵函数，简述其在微积分运算在求解一阶线性常系数微分方程组。关键词：矩阵论矩阵函数一阶微分方程一、矩阵论的发展史简介矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。1850年，英国数学家西尔维斯特(SylveSter，1814--1897)在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵的概念。1855年，英国数学家凯莱(Caylag，1821--1895)在研究线性变换下的不变量时，为了简洁、方便，引入了矩阵的概念。1858年，凯莱在《矩阵论的研究报告》中，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根2（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。1855年，埃米特(C.Hermite，1822-1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1854年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。3二、矩阵函数在微分方程中的应用矩阵函数定义的引出把矩阵理论的研究延伸到分析领域，从而使对矩阵的研究又提高到一个新的层次，增加了新的手段，同时也使矩阵理论在数学、物理、工程技术等许多领域有了新的应用。对于一阶线性常系数非其次微分方程组taaadtdtaaadtdtaaadtdnnnnnnnnnnn2211222221212112121111（1）其中njiaij,2,1,都是复数，ti(i=1,2…，n)是t的已知函数，ξi=ξi(t)(i=1,2…，n)是t的未知函数。方程组（1）可写为如下的矩阵方程tbAxdtdx（2）这里nnijaAx,Tntxx,,,21,Tnttttb,,,21。根据高等数学里的经验，这里我们先求（1）对应的其次微分方程组的解。设一阶线性常系数其次微分方程组为nnnnnnnnnnaaadtdaaadtdaaadtd22112222121212121111（3）4其中njiaij,2,1,都是复数，nitii,,2,1是t的未知函数。令Tntxx,,,21,nnijaAx,则方程组（3）可改写为Axdtdx（4）满足初始条件c=（γ1，γ2，…，γn)T，其中i=i(0)(i=1,2…，n)。再将每个ti展开为麦克劳林级数niiiiiii,,2,10!21t0t2（5）从而有0!2102xtxtcx（6）又由式（4）得,,3233222xAdtdAdtxdxAdtdAdtxd于是有,0,0,032cAxcAxAcx代入式（6），得cecAttAccxtA22!2（7）就是说，方程（4）的解，即方程组（3）的解一定是式（7）。反之，易证式（7）确实是式（4）的解。利用矩阵函数微分的性质，证明过程如下：由矩阵微分的性质有AxcAecedtdcdtdecedtdcedtdxAtAtAtAtAt（8）由于矩阵函数Ate可逆，所以她的n个列向量txtxtxn,,,21线性无关。故存在向量Tnc,,,21，使得txtxtxcetxnntA2211(9)设txx~~是方程（2）的一个特解，txx是方程（2）的通解，那么xxAxxdtd~~（10）5即xx~是方程（4）的解。根据式（9）可得xx~=cetA也就是说xcexttA~（11）为确定方程（2）中特解x~，采取常向量变易法。设tcextA~其中tc为待定向量带入方程（2）可得tbxAtcdtdexAtcdtdetcAexdtdtAtAtA~~~（12）从而tbtcdtdetA(13)解得dssbetctsA0，故方程组的一个特解是dssbeextsAtA0~，则dssbeecetxtsAtAtA0（14）为方程组（1）的通解这里Tnc,,,21是任意常数向量。所以满足初始条件00xtx的解为dssbeexetxtsAtAAtt000（15）也可写成dssbeexetxtsAtAtA00（16）至此，关于一阶线性非齐次微分方程组的解法讨论完毕，我们以后就可以直接套用公式进行求解。小结：求解一阶线性非其次微分方程组可分为以下几步：1、根据题意首先找到系数矩阵、初始条件、非其次方程的常量；2、求解矩阵函数tAe（有多种求法，包括待定系数法、数项级数求和法、对角形法、Jordan标准形法）；3、计算sbesA，然后计算积分dssbeetsAtA0dssbetsA0；4、把计算的结果代入dssbeexetxtsAtAtA00，写出最后结果。