《从力做的功到向量的数量积》教案全面版

《从力做的功到向量的数量积》教案一、教学目标：1.知识与技能（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点:向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.难点:运算律的理解三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】（学生阅读教材P107—108，师生共同讨论）思考：请同学们回忆物理学中做功的含义，问对一般的向量a和b，如何定义这种运算？1.力做的功：W=|F|•|s|cos是F与s的夹角2.定义：平面向量数量积（内积）的定义，a•b=|a||b|cos，并规定0与任何向量的数量积为0。3.向量夹角的概念：范围0≤≤180[展示投影]由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；因此强调注意的几个问题：①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。②两个向量的数量积称为内积，写成a•b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两C=0=180OOOOOOAAAAAABBBBBBCsF个数量的积，书写时要严格区分。③在实数中，若a0，且a•b=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且a•b=0，不能推出b=0。因为其中cos有可能为0.这就得性质2.④已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c.但是a•b=b•ca=c如右图：a•b=|a||b|cos=|b||OA|b•c=|b||c|cos=|b||OA|a•b=b•c但ac⑤在实数中，有(a•b)c=a(b•c)，但是(a•b)ca(b•c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.[展示投影]思考与交流：思考与交流1.射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的射影。注意：①射影也是一个数量，不是向量。②当为锐角时射影为正值；当为钝角时射影为负值；当为直角时射影为0；当=0时射影为|b|；当=180时射影为|b|.思考与交流2.如何定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质（学生讨论完成，教师作必要的补充）.几何意义：数量积a•b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。①e•a=a•e=|a|cos②aba•b=0③当a与b同向时，a•b=|a||b|；当a与b反向时，a•b=|a||b|。特别的a•a=|a|2或aaa||④cos=||||baba（|a||b|≠0）⑤|ab|≤|a||b|【巩固深化，发展思维】判断下列各题正确与否：①若a=0，则对任一向量b，有a•b=0.(√)②若a0，则对任一非零向量b，有a•b0.(×)③若a0，a•b=0，则b=0.(×)④若a•b=0，则a、b至少有一个为零.(×)OaAcbAOOBOB1OabAOOBOB1OabAOOBO(B1)Oab⑤若a0，a•b=a•c，则b=c.(×)⑥若a•b=a•c，则b=c当且仅当a0时成立.(×)⑦对任意向量a、b、c，有(a•b)•ca•(b•c).(×)⑧对任意向量a，有a2=|a|2.(√)[展示投影]思考与交流：思考：根据向量数量积的定义、物理意义及几何意义，你能否验证下列向量的数量积是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1.交换律：a•b=b•a证：设a，b夹角为，则a•b=|a||b|cos，b•a=|b||a|cos∴a•b=b•a2.数乘结合律：(a)•b=(a•b)=a•(b)证：若=0，此式显然成立.若0，(a)•b=|a||b|cos，(a•b)=|a||b|cos，a•(b)=|a||b|cos，所以(a)•b=(a•b)=a•(b).若0，(a)•b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos，(a•b)=|a||b|cos，a•(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos。所以(a)•b=(a•b)=a•(b).综上可知(a)•b=(a•b)=a•(b)成立.3.分配律：(a+b)•c=a•c+b•c证：在平面内取一点O，作OA=a,AB=b，OC=c，∵a+b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即：|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2∴c•(a+b)=c•a+c•b即：(a+b)•c=a•c+b•c.[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例1.已知：.)2.()1(,120,3,2220babababa求的夹角为与解：（1）5942222baba（2）7cos22)(22222bbaabbaababa例2.已知ba、都是非零向量，且baba573与垂直，baba274与垂直，求ba、的夹角。解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16a•b15b2=0①12abABOA1B1Cc(a4b)(7a2b)=07a230a•b+8b2=0②两式相减：2ab=b2代入①或②得：a2=b2设a、b的夹角为，则cos=21||2||||22bbbaba∴=60例3.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。证：设AB=DC=a,AD=BC=b∵ABCD为菱形∴|a|=|b|∴AC•BD=(b+a)(ba)=b2a2=|b|2|a|2=0∴ACBD即菱形对角线互相垂直。【巩固深化，发展思维】1.教材P109练习1、2题2.教材P111练习1、2、3、4、5题[学习小结]（学生总结，其它学生补充）①有关概念：向量的夹角、射影、向量的数量积.②向量数量积的几何意义和物理意义.③向量数量积的五条性质.④向量数量积的运算律.五、评价设计1．作业：习题2.5A组第3、4、5、6、7题．2．（备选题）：①在ΔABC中，设边BC，CA，AB的长度分别为a，b，c，用向量方法证明：Abccbacos2222②求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。解：如图：ABCD中：DCAB，BCAD，AC=AB+AD∴|AC|2=|AB+AD|2=AB2+AD2+2AB•AD而BD=AB-AD∴|BD|2=|AB-AD|2=AB2+AD2-2AB•AD∴|AC|2+|BD|2=2AB2+2AD2=|AB|2+|AD|2+|BC|2+|DC|2六、课后反思：CABDabABDC你曾落过的泪，最终都会变成阳光，照亮脚下的路。（舞低杨柳楼心月歌尽桃花扇底风）我不去想悠悠别后的相逢是否在梦中，我只求此刻铭记那杨柳低舞月下重阁，你翩若惊鸿的身影，和那桃花扇底悄悄探出的半面妆容与盈盈水眸。用宁静的童心来看，这条路是这样的：它在两条竹篱笆之中。篱笆上开满了紫色的牵牛花，在每个花蕊上，都落了一只蓝蜻蜓。你必得一个人和日月星辰对话，和江河湖海晤谈，和每一棵树握手，和每一株草耳鬓厮磨，你才会顿悟宇宙之大、生命之微、时间之贵我一直以来都弄不明白，为什么不管做了多么明智合理的选择，在结果出来之前，谁都无法知道它的对错。到头来我们被允许做的，只是坚信那个选择，尽量不留下后悔而已。看不见的，是不是就等于不存在？记住的，是不是永远不会消失？每一个黄昏过后，大家焦虑地等待，却再也没有等到月亮升起。潮水慢慢平静下来，海洋凝固成一面漆黑的水镜，没有月亮的夜晚，世界变得清冷幽寂．但是，最深的黑夜即将过去，月亮出来了……记忆的冰川在岁月的侵蚀下，渐渐崩塌消融。保持着最初的晶莹的往事，已经越来越稀少。灼灼其华，非我桃花。苍苍蒹葭，覆我其霜。芦荻不美，桃花艳妖。知我怜我，始觉爱呵。只要春天还在我就不会悲哀纵使黑夜吞噬了一切太阳还可以重新回来只要生命还在我就不会悲哀纵使陷身茫茫沙漠还有希望的绿洲存只要明天还在我就不会悲哀冬雪终会悄悄融化春雷定将滚滚而来孤独，寂静，在两条竹篱笆之中，篱笆上开满了紫色的牵牛花，在每个花蕊上，都落了一只蓝蜻蜓。一袭粉色拖地蝶园纱裙，长发垂至脚踝，青丝随风舞动。眸若点漆，水灵动人，冰肤莹彻，气质脱俗，眼波转动间却暗藏睿智锋芒。淡雅如仙，迎风而立的她，宛若来自天堂的。暖有时候猛烈地指责别人说谎，其实是太渴望那消息真实。原来时间也会失误和出现意外，并因此迸裂，在某个房间里留下永恒的片段。尘世里，总有些什么，让我们不自觉地微笑，使我们的坚硬，在一瞬间变得柔软。婴儿的梦呓，幼童的稚语，夕阳下相互搀扶的老人.......那天黄昏，紫岚在栖身的石洞口默黩地注视着落日。余晖变幻着色调，嫣红、水红、玫瑰红，转瞬便消失在天涯尽头；草原被铅灰色的暮霭垄断了，苍茫沉静。孔明灯真的很漂亮，就像是星星流过天河的声音。你既然已经做出了选择，又何必去问为什么选择。原来岁月太长，可以丰富，可以荒凉。能忘掉结果，未能忘掉遇上。我不可抑制地在脑海勾勒这样的景象：黄昏。风。无垠的旷野。一棵树。----就那么一棵树，孤零零的。风吹动它的每一片叶子，每一片叶子，都在骨头里作响。天高路远，是永不能抵达的摸样......孤单时，仍要守护心中的思念，有阴影的地方，必定有光最好的时光，是经由记忆粉饰的过往。我们会不由自主地忘记伤痛，欢天喜地地投向下一个天国。过往的人事，在前行的途中偶尔显身于记忆，又不可挽留地悄然远去。谁也阻止不了忘记的步伐每一次的离别都在夏天，明明是最火热的季节，却承载着最盛大的离别。睡着你的秘密，醒着你的自由。它的篱笆结实而疏朗，有清风徐徐穿过。人生有很多选择，一个选择又决定下个选择，所以，选择的时候只要是自己内心所想的，也值了，怕的就是，明明不愿意，又不得不选择。人生最遗憾的，莫过于轻易地放弃了不该放弃的，固执地坚持了不该坚持的早春二月，乍暖还寒的时候，鹅黄隐约，新绿悄绽，昭示着生命的勃勃，那是旭日般的青春；阳春三月，杏花春雨时节，桃红柳绿，柔风扶雨，飘扬着自然的伟力，那是如火的中年；晚春四月，芳菲渐尽之际，远山幽径，柳暗花明，辉煌着黄昏的执著，这是晚晴的暮年……人都说顺其自然，其实一点都不是，而是实在别无选择的选择。有个地方，名为汴梁，那年桃花肆意，旧年，桃花消散在汴梁。桃花十八年，繁华再现，桃花盛开三千夜，只需花颜亦墨离。那个汴梁有个童谣：桃花屋外飞满天，桃花谷里醉缠绵。桃花屋内冷桃茶，夭夭桃花葬桃恋。问桃花十八为几年，不谈墨离负花颜，江河暗流痴情魂，温柔十里桃花人。竹马青梅，亦是无猜，满眼繁花，只为那十八年