第六章-兰切斯特战斗理论(用)

1第六章兰切斯特战斗理论2兰切斯特方程模型，实质上是一个微分方程模型。由于考虑大量成员参战，每一个作战单位被毁伤与否的随机性，不会引起作战双方战斗力总量的剧烈变化。作战阶段的兵力的统计平均值，接近当时的实际总兵力值。所以，把参战兵力的损耗看成是连续变化的，从而用反映连续变量特点的一组微分（差分）方程形式描述正常系统的演化(即战斗单元数随时间的变化)兰切斯特方程可用来对作战过程进行各种预测。例如，预测交战双方哪一方获胜；预测作战过程的大致持续时间；预测战斗结束时胜方战斗损失大小；预测初始总兵力和战斗力的变化会对作战结局带来哪些影响等等兰切斯特战斗理论3兰切斯特第一线性律兰切斯特第二线性律兰切斯特平方律梯曲曼游击战模型兰切斯特方程的进一步推广关于损耗系数（损耗率）的讨论兰切斯特方程的综合分析主要内容4兰切斯特第一线性律以古代战斗模型为基础，战斗结局取决于双方的格斗水平。其假定条件是作战兵力相互暴露，可解释成人对人或武器对武器的交战，每一方损耗率都平均为常值。设，为红、蓝双方在t=0时刻的初始兵力，，为红、蓝双方在t时刻的瞬时兵力（或剩余兵力），即0x0yxy)0(|00xxxt)(|txxxtt)0(|00yyyt)(|tyyytt6.1兰切斯特第一线性律1第一线性律方程5设（）为红（蓝）方单位时间内损失的作战单位数，即蓝（红）方对红（蓝）方的毁伤率，称为损耗系数dttdydttdx)()(6.1兰切斯特第一线性律6利用初始条件可求得第一线性律常微分方程组的解tyytxx00状态方程)()(00yyxx或00xyxy、分别称为蓝方和红方的初始战斗力，、分别称为蓝方和红方的瞬时战斗力0y0xyx6.1兰切斯特第一线性律2第一线性律的解7损耗系数平均战斗力，可定义为已方对另一方的损毁率，是一方某类武器中一件对对方某类武器在单位时间内的平均击毁的数量。蓝方的随耗系数可写为rrruhkPhP)/()(—红方武器命中蓝方目标（或武器）的概率)(hPr)/(hkPr—红方武器在命中蓝方目标条件下的击毁蓝方目标的概率ru—红方武器的射击速率，即单位时间内的发射弹数6.1兰切斯特第一线性律8当，蓝方胜00xy其剩余兵力为：其剩余兵力为：当，红方胜战斗持续时间为：战斗持续时间为：00eyxy00xt00xy00exyx00yt当时，双方势均力敌，同归于尽00xy战斗持续时间为：000xyt6.1兰切斯特第一线性律3战斗结局预测9图中蓝方取得胜利：，在时刻T的前后差值改变符号，T称为兵力转机时刻。求交叉点即可确定T。对第一线性律，若令00yxyx00()()()()()ftytxtyxt令，若α≠β，则有0)(tf001xyt存在兵力转机时刻的必要条件是，即分子分母同号01t6.1兰切斯特第一线性律4兵力转机时刻10当且βα时，红方相对于蓝方的兵力将由少到多，其兵力转机时刻为T=00xy当且βα时，蓝方相对于红方的兵力将由少到多，其兵力转机时刻为T=00xy如果T＞(战斗持续时间），则兵力少但战斗力强的一方坚持不到兵力转机时刻即被消灭0t1t1t6.1兰切斯特第一线性律4兵力转机时刻11例1红方有50辆坦克向蓝方15辆坦克组成的防御阵地发动进攻，每分钟内红方能消灭蓝方1辆坦克，蓝方能消灭红方3辆坦克，战斗采取一对一方式进行。问：哪方取胜？胜方剩余兵力为多少？什么时间胜方兵力为负方的4倍？确定兵力转机时刻。解：由给定条件知x0=50y0＝15α=3β=1由于=45-50＜0，所以，战斗结果为红方胜00xy红方的剩余兵力为)(500辆yxx6.1兰切斯特第一线性律5例题12战斗持续时间为0015()yt＝分钟双方兵力比4100txtyu得到在10分钟时红方兵力是蓝方的4倍由与β-α0同号，存在兵力转机时刻，其值为000xy)(5.17001分钟xyt由于兵力转机时刻t1=17.5（分）大于战斗持续时间t。=15（分），所以，虽然蓝方的战斗力较强但坚持不到兵力转机时刻就被消灭。红方获胜，剩余兵力为5辆坦克；在战斗开始后10分钟红方是蓝方兵力的4倍；不存在兵力转机时刻。6.1兰切斯特第一线性律13例2假定红、蓝双方各有12名步兵交战，地形条件迫使他们以一对一方式进行战斗，蓝方的武器对红方步兵的杀伤率是平均每10分钟一个，而红方的武器较低劣，射击技术也不如蓝方，他们对蓝方步兵的杀伤率为每15分钟一个。问题是谁取胜；当一方被消灭时，另一方还幸存多少人；战斗要打多久；在什么时候双方的兵力比值是2：1？6.1兰切斯特第一线性律5例题14第一线性律适用于同兵种、损耗系数为常数、能进行直接瞄准的一对一格斗的作战过程（如步兵对步兵、坦克对坦克的格斗）第一线性律的基本特征是：在作战过程中，双方不断减员，兵力对比关系不断变化，但双方在单位时间内的对敌杀伤数却始终恒定第一线性律所描述的战场态势具有这样的性质：在战斗进行过程中，双方各自的对敌杀伤率不因战斗减员而变化，不因兵力对比关系的变化而变化6.1兰切斯特第一线性律6第一线性律评述15第二线性律假定战斗双方进行远距离的间瞄射击火力集中在已知敌战斗单位的集结地区，不对个别目标实施瞄准集结地域大小几乎与部队的集结数量无关射击带有一定的盲目性，火力集中在已知的敌战斗单位的集结地区，并不针对具体的目标实施射击，而这个集结地区的大小几乎与敌部队的数量无关（面射击模型）。因为射击为随机瞄准且不转移火力，在此情况下，双方的损耗率与自己部队数量成正比6.2兰切斯特第二线性律1方程的基本形式16兰切斯特第二线性律方程xydttdyxydttdx)()(—单位时间内蓝方每一战斗单位毁伤红方战斗单位的相对数量—单位时间内红方每一战斗单位毁伤蓝方战斗单位的相对数量6.2兰切斯特第二线性律17第二线性律战斗过程的状态方程)()(00yyxx第二线性律的解keekytykekxtxtkaytkaytkay)1()1(0)1(0000)1()()1()(为红方对蓝方的初始总战斗力之比00yxk蓝方对红方的瞬时兵力比为tkyexytxtyu)1(000)()(6.2兰切斯特第二线性律18当，蓝方胜00xy其剩余兵力为：其剩余兵力为：当，红方胜00xyye00xy00yxxe当时，双方势均力敌，同归于尽00xy2战斗结局预测6.2兰切斯特第二线性律19如，且，则可确定红方相对于蓝方兵力数量的一个由少变多的转机时刻T=k≠1，否则不存在兵力转机时刻，若令，则)()()(txtytfkeeyxktftkaytkay)1()1(0000])[1()(令得：0)(tftkayeyx)1(00000001ln1yxxyt存在兵力转机时刻的必要条件是与同号00xy00lnyx如，且，则可确定蓝方相对于红方兵力数量的一个由少变多的转机时刻T=00xy00yx1t00xy00yx1t3兵力转机时刻6.2兰切斯特第二线性律20例3蓝军和红军进行炮战，双方各有18门炮，都只知对方火炮的配置区域而不知其准确位置。1分钟内蓝军每门火炮毁伤红军火炮的相对数量为0.008，红军每门火炮毁伤蓝军火炮的相对数量为0.01。问这场炮战谁能取胜？30分钟后双方各剩多少门火炮能继续战斗？解：由给定条件，且，，得初始总战斗力之比为1800yx008.00.0125.118008.01801.000yxk战斗结果为红方胜。4例题6.2兰切斯特第二线性律21用t=30计算双方剩余兵力)(91.4)1()30()1(00门kekxxtkay门64.1)1()30()1()1(000keekyytkaytkay战斗结束时，红方的剩余兵力为（时间足够长的收敛解）)(6.300门yxxe6.2兰切斯特第二线性律22每一方的损伤率既取决于对方战斗单位对己方战斗单位的毁伤率，又取决于对方战斗单位的数量，从而有微分方程组)()()()(txdttdytydttdx——蓝方每一战斗单位在单位时间内平均毁伤红方战斗单位的数目——红方每一战斗单位在单位时间内平均毁伤蓝方战斗单位的数目6.3兰切斯特平方律1方程的基本形式23、称为红蓝双方的初始战斗力，、为红蓝双方的瞬时战斗力20x20y2y2x状态方程)()(220220xxyy兰切斯特方程的解)()/()()()()/()()(0000tshxtchytytshytchxtx2/)(xxeeshx2/)(xxeechx6.3兰切斯特平方律24利用平方律的状态方程来讨论战斗结局222020xyxy双方战斗力之差在作战过程中保持恒定当时，蓝方胜2020xy剩余兵力为：2020)/(xyye取胜时间为：0000ln21yxyxTy6.3兰切斯特平方律2战斗结局预测25当时，红方胜2020xy剩余兵力为：取胜时间为：2020)/(yxxe0000ln21yxyxTx当时，双方势均力敌2020xy在战斗过程中始终有，开方可得，因而在战斗过程中，双方兵力变化始终是呈线性关系，且表示其变化趋势的直线过原点22xyxy6.3兰切斯特平方律26状态方程可表示为双曲线方程1//2020220202xyxxyy当时，蓝方胜，战斗过程将沿左上双曲线进行，且与Y轴交点为(0，)2020xyey当时，红方胜，战斗过程将沿右下双曲线进行，且与X轴交点为(，0)2020xyex6.3兰切斯特平方律yy2200yx2200yxY方胜X方胜YXeyex276.3兰切斯特平方律例如果令红军的最初兵力R0=1000。用这1000人的兵力接连对蓝军进行了两次战斗，每一次蓝军的兵力均为500人。那么，当双方损耗系数相同时，分别计算每次战斗红军剩余的兵力，以及蓝军的伤亡人数。286.3兰切斯特平方律解由于α=β，故根据剩余兵力公式，有22002200()/exxyxy第一次战斗，蓝方全部损失500人，红方剩余222201x10005005003866exy第二次战斗，蓝方全部损失500人，红方剩余222228665005002707eexxy296.3兰切斯特平方律这样，根据集中兵力的原则，红军消灭了1000名蓝军（每次500名，一共两次），而自己只伤亡了293名。因此，根据兰彻斯特平方定律的假定，“分割歼灭”的原则是非常有效的。30(1)损耗情况讨论红方胜且损耗小于蓝方202000yxyxxxe只要保证成立，那么本次战斗将以红方取胜结束且红方胜且损耗小于蓝方002yx红方胜且损耗大于蓝方20200012yxyx6.3兰切斯特平方律3平方律的其它有关情况讨论31(2)最佳分割设红方的初始兵力有人，蓝方被分割的两部分兵力之和人，其中一部分为人，则另一部分为。红方有足够兵力逐一全歼两部之敌，即0x0yyyy00)(20220yyaayx完成两次歼灭敌后，红方的剩余兵力满足关系式ex202202)(yyaayxxe若要红方的取胜代价最小，实质上求值，使下式成立y]