高一抽象函数专题

抽象函数专题定义：我们把只给出函数的一些性质没有给出具体解析式的函数称为抽象函数一.几类常见的抽象函数抽象函数满足条件代表函数11212()()()fxxfxfx()fxkx（0k）21212()()()fxxfxfx1212()()()fxxfxfx()xfxa（0,1aa）31212()()()fxxfxfx()logafxx41212()()()fxxfxfx()afxx51()()fxfx()logafxx二、题型分析问题一：抽象函数定义域问题例1(1)若()fx的定义域是1,1，求(21)fx的定义域。(2)若(21)fx的定义域是1,1，求()fx的定义域。方法总结：若函数)(xf的定义域为D，则在函数)(xgf中Dxg)(,从中求出x的范围即为)(xgf的定义域。(注意：定义域一定是指单位x(自变量)的取值范围)问题二：.抽象函数求值问题例2.已知fx()的定义域为R，且fxyfxfy()()()对一切正实数x，y都成立，若f()84，则f(2)_______。例3已知()fx满足)()()(bfafbaf，且(1)3f，则2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)(1)(3)(5)(7)ffffffffffff方法总结：赋值法问题三：抽象函数与不等式问题例4.定义在1,1上的奇函数)(xf是增函数,且0)1()1(2xfxf,求x的取值范围.例5设定义在2,2上的偶函数()fx在0,2上单调递减，若(1)()fmfm，求实数m的取值范围。方法总结：利用奇偶性将已知转化为))(())((xhfxgf的形式，再利用)(xf的单调性得到关于x的不等式，求出x的范围问题四：抽象函数奇偶性的问题例6.已知fx()的定义域为R，且对任意实数x，y满足fxyfxfy()()()，求证：fx()是偶函数。例7.已知()()2()()fxyfxyfxfy,对一切实数x、y都成立，且(0)0f,求证()fx为偶函数。方法总结：通过赋值，得出)()(xfxf与的关系，判断出奇偶性问题五：抽象函数的单调性问题例8.函数f(x)对任意Ryx,都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x0时，f(x)0的奇偶性；判断)()1(xf(2)求证:f(x)在R上是减函数;(3)若f(1)=-2，求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值。例9.已知函数f(x)为定义域),0(上的函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，且x1时，f(x)0(1)求证f(x)在定义域上是增函数(2)若f(2)=1解不等式f(x)+f(x-2)3。方法总结：由已知推出)()(21xfxf(或)()(21xfxf)的表达式，再用单调性的定义得出结论。例10:函数)(xf的定义域为R,且0)0(f，当,1)(,0xfx时且对任意的Rba、,都有)()()(bfafbaf.(1)求证：1)0(f;(2)求证：对任意的;0)(,xfRx都有(3)证明)(xf在R上是增函数；(4)若,1)2()(2xxfxf求x的取值范围。例11.定义域为R的函数)(xf的,1,1值域为当0)(10xfx时,且对任意Rba,,满足)()(1)()()(bfafbfafbaf.(1)求的值)0(f;(2)求证是奇函数；)(xf(3)判断上的单调性在Rxf)(5.函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)2.