上海交通大学研究生课程《最优化理论基础》2015-A

A卷总7页第1页一．填空题（7题15个空格，每空格2分，共30分）：1.用最速下降法并采用最优步长求解(UQP):221212min()448fxxxxx，其中初始点为1x，则当且仅当1x满足条件____________________时，迭代一步得到(UQP)的最优解，当且仅当1x满足条件______________时，迭代任意有限步均不会得到(UQP)的最优解。2.在求解无约束优化问题的最速下降法、牛顿法、共轭梯度法和拟牛顿法中，______________________________________________________________具有二次终止性，____________只具有局部收敛性。3.在求解线性约束优化问题的Zoutendijk可行方向法、Rosen梯度投影法和Frank-Wolfe线性逼近法中，_________________________________________具有收敛性，_____________可推广到非线性约束优化问题。4.设2221231213123()22756fxxxaxxbxxxxxx，其中,ab是常数。若()fx是严格凸函数，则常数,ab满足条件_________________________，反之______成立。5.设()fx是可微函数，x是(LNP):min()..fstAExxbxb可行解，并且1122,AAAbbb，使1122AAxbxb。为得到(LNP)在x处可行下降方向，可求解线性规划问题____________________________，则其最优值_________时，其最优解d是(LNP)在x处可行下降方向。6.设()fx是可微函数，x是(LNP):min()..fstAxxb的可行解，并且1122,AAAbbb，使11Axb，上海交通大学研究生试卷（A）（2015至2016学年第1学期）学号姓名上课时间任课老师课程名称最优化理论基础成绩题号一二1二2二3二4三四得分批阅人卷教师签名处)我承诺，我将严格遵守考试纪律。签字人：承诺人：A卷总7页第2页22Axb。则()fx在1A的零空间上的投影d_______________________________。若d___________，则d是(LNP)在x处的可行下降方向。7.设(LP)k:min{()|}kTfAxxxb是(LNP):min{()|}fAxxb在其可行解kx处的线性化问题，ky是(LP)k的最优解，()()kTkkTkkffxxxy，则k_______。若0k，则______是(LNP)的K-T点，否则kd_____________是(LNP)在kx处的可行下降方向。二．计算题（4题，每题13分，共52分）：1．用惩罚函数法求解约束优化问题：12212min()24..4(4)4fxxstxxxA卷总7页第3页2.对于无约束优化问题：22411223min()22fxxxxxx（1）用任一下降算法求解，取初始点为1(1,10)Tx，，若未一步迭代停止，则迭代二次；（2）用最优性条件证明（1）中得到的点是否为最优解。A卷总7页第4页3．对于线性规划问题：12312313123min..2201,,0xxxstxxxxxxxx（1）当1时用单纯形法求该问题的最优解和最优值；（2）取何值时，该问题无界；（3）取何值时，该问题的对偶问题无界。A卷总7页第5页4.设1,,mxx是nR中的m个点，p是nR中非零向量，是实数。在半空间{|}nTRxpx上寻找*x，使*x与m个点的欧氏距离平方和最小。（1）写出该问题的优化模型，判别是否为凸规划问题；（2）利用最优性条件求出*x；（3）当充分大时，利用（2）中结论得到*x，并解释其几何意义。A卷总7页第6页三．推导题（1题，每题8分，共8分）:1.设kB是2()kfx的近似并且满足拟牛顿条件，试写出关于kB的拟牛顿条件，并推导修正公式1kkkBBB，其中修正矩阵kB秩为2。A卷总7页第7页四、证明题（1题，每题10分，共10分）：1.设nRS是开凸集，1:RSf是可微函数，则f是S上的一致凸函数的充要条件是，存在0，使SfffTyxyxxyxxy,)()()()(2其中f是S上的一致凸函数定义为：nRS是凸集，并且存在0，使2()(1)()((1))(1),,(0,1)fffSxyxyxyxy其中为2-范数即欧氏范数。