微分动力系统的应用一

1微分动力系统的应用(一)--竞争模型设在一个池塘里饲养两种食用鱼：鳟鱼和鲈鱼.设它们在时刻t的尾数分别是x(t)和y(t).假定鳟鱼的尾数x(t)的增长速度正比于鳟鱼尾数x(t),增长率为k;即kxtxdd.(1)由于鲈鱼的存在而争夺食物、减小了鳟鱼的增长率.鲈鱼越多，鳟鱼的增长率越小，可设鳟鱼的增长率k=a–by,其中a0,b0是常数.因此我们可以写出如下的描述鳟鱼尾数的微分方程:xbyatx)(dd,0x,0y.(2)同理由于鳟鱼的存在而争夺食物、减小了鲈鱼的增长率.我们可得到描述鲈鱼尾数的微分方程:ynxmty)(dd,(3)其中m0,n0是常数.当鳟鱼的尾数x(t)m/n,鲈鱼的尾数y(t)a/b时,由方程(3)可见鲈鱼的尾数y将减少,由方程(2)可见鳟鱼将增加.反之,当鳟鱼的尾数x(t)m/n,鲈鱼的尾数y(t)a/b时,由方程(3)可见鲈鱼的尾数y将增加,由方程(2)可见鳟鱼尾数x(t)将减少.现在的问题是:设在t=0时鳟鱼和鲈鱼的初值分别是x0和y0尾,要研究这两种鱼的增长情况.是否存在x00和y00,使得这两种鱼能够和平共处,长期共存呢?首先可见方程组(2),(3)有常数解2baynmx,.(4)因此在t=0时鳟鱼x0=m/n,和鲈鱼y0=a/b尾时,由方程可见鳟鱼和鲈鱼的增长速度是零,所以鳟鱼和鲈鱼的尾数保持不变.那么这种状态是否是稳定的呢?就是说,若鱼的尾数由于某种原因稍有变化,这两种鱼是否还能和平共处,长期共存呢?由常微分方程的理论,我们知道(m/n,a/b)是方程组的奇点,我们只要分析这个奇点的稳定性就行了.方程组(2),(3)的向量场的Jacobi矩阵在奇点(m/n,a/b)的值是00bnanbmnxmnybxbyaJ(5)J的两个特征值为ma,因此奇点是鞍点,鞍点是不稳定的.所以若鱼的尾数由于某种原因稍有变化,这两种鱼的尾数将有大的变化.方程组(2),(3)还有一个奇点(0,0),向量场的Jacobi矩阵在奇点(0,0)的值是manxmnybxbyaJ00(6)J的两个特征值为a0,m0,因此奇点(0,0)是不稳定的结点.在奇点(0,0)附近的轨线当时间t增大时都离开奇点(0,0).另外方程组(2),(3)有两条半直线轨道:(1):x=0,y0,对应的轨线是mtyye0,表示鲈鱼的尾数呈指数增长.(2):y=0,x0,对应的轨线是atxxe0,表示鳟鱼的尾数呈3指数增长.由于奇点(m/n,a/b)是鞍点,当t趋向无穷大时,有两条轨道从相反的方向趋向鞍点,另有两条轨道从鞍点出发以相反的方向离开鞍点.这四条轨道称为鞍点的分界线,研究这些分界线的走向以及方程组的结点(0,0)的性质,其余轨道的大致走向也就清楚了.要知道对于一般的初值)0,0(),(00yx鳟鱼和鲈鱼的尾数是怎样变化的,最终是鳟鱼还是鲈鱼生存下来呢?就要解出微分方程组(2),(3).将方程组(2),(3)消去dt,化为如下一阶常微分方程:yxbyaxynxmd)(d)(,(6)(6)式是一个变量分离方程,除了零解(x=0,y=0)和半直线轨道外,可分离变量得yybyaxxnxmd)(d)(,(7)从)0,0(),(00yx到),(yx对(7)式作定积分得到过)0,0(),(00yx的积分曲线:)(ln)(ln0000yybyyaxxnxxm.(8)对(8)式取指数化为形式:nxmbyaKxyee,(9)(9)式中的K是常数:00e00nxbymaxyK.(10)4对于鞍点的分界线,因它们趋向及离开鞍点,所以分界线方程的K应由(10)式中),(00yx取为鞍点:baynmx00,,(12)而得到.这时(10)式的K值为maammambnaKe.(13)记byayyfe)(,nxmxxge)(.由微分法可知)(yf是单峰函数,在鞍点的纵坐标bay/时取得最大值,在0y和y时取得最小值零.在区间[0,a/b]上f(y)从零严格单调增加到最大值;在无穷区间ya/b上f(y)严格单调减少趋向零.同理)(xg是单峰函数,在鞍点的横坐标nmx/时取得最大值,在0x时和x时取得最小值零.在区间[0,m/n]上g(x)从零严格单调增加到最大值,在无穷区间xm/n上g(x)严格单调减少趋向零.根据以上事实,可以由分界线方程(9),(13)得出鞍点的四条分界线(红色和蓝色的线)并且根据方程组(2),(3)得出分界线的走向如下示意图:(四条分界线共同的端点是鞍点(m/n,a/b)).5yx其中x轴和y轴分别是两条分界线(用蓝色表示)的渐近线,红色的一条分界线从结点走向鞍点,红色的另一条分界线当t趋向负无穷大时趋向无穷远.于是其他轨道的走向(用黑色表示)也就知道了.从图可见,分界线将第一象限分成四个区域,当初始点(x0,y0)位于这四个区域之一时,当时间趋向无穷大时,x(t)和y(t)中总有一个趋向零,而另一个趋向无穷大.具体而言,当初始点落在红线下方时,最终只有鳟鱼x生存,当初始点落在红线上方时,最终只有鲈鱼y生存.初始点落在红线上时,轨道趋向鞍点,而鞍点和结点是不稳定的,所以不管怎样,实际上只有一个能够生存.这说明了对于竞争模型,不同的物种是有排他性的,这称为竞争排他原理.6微分动力系统的应用(二)—捕食模型在生物界除了两个物种之间的竞争性以外,还有一种是捕食与被捕食的关系.例如在南极海洋中生活的鬚鲸和南极虾就是这种关系.设南极虾的数量是x(t),鲸的数量是y(t),鬚鲸以南极虾为主食,没有了南极虾,鬚鲸的数量将指数式地下降:mytydd,0m是常数.（1）但有了南极虾x(t)时,鬚鲸的数量的变化关系（1）要改为:ymnxty)(dd,0n是常数.(2)而南极虾被鬚鲸捕食,它的数量的变化服从以下关系:xbyatx)(dd,0a.0b是常数.(3)我们同样可以通过研究方程组(2),(3)的轨道来讨论鬚鲸与南极虾数量的变化规律.首先方程组有两个奇点:(0,0),(m/n,a/b).方程组(2),(3)的向量场的Jacobi矩阵在奇点(m/n,a/b)的值是00bnanbmmnxnybxbyaJ(4)J的两个特征值为纯虚数mai,因为（2），（3）是非线性方程,单凭特征值是纯虚数只能判定奇点是焦点型(即焦点或中心)的,不能确定焦点型的奇点是否是中心.向量场的Jacobi矩阵在奇点(0,0)的值是mamnxnybxbyaJ00(5)J的两个特征值为a0,-m0,因此奇点(0,0)是鞍点、不稳7定.另外方程组(2),(3)有两条半直线轨道:(1):x=0,y0,对应的轨线是mtyye0,表示没有了南极虾，鬚鲸数呈指数减少.(2):y=0,x0,对应的轨线是atxxe0,表示没有了鬚鲸，南极虾数呈指数增长.将方程组(2),(3)消去dt,化为如下一阶常微分方程:yxbyaxymnxd)(d)(,(6)(6)式是一个变量分离方程,除了零解(x=0,y=0)和半直线轨道外,可分离变量得yybyaxxmnxd)(d)(,(7)从)0,0(),(00yx到),(yx对(7)式作定积分得到过)0,0(),(00yx的积分曲线:)(ln)(ln0000yybyyaxxnxxm.(8)对(8)式取指数化为形式:Kxynxmbyaee,(9)(9)式中的K是常数:00e00nxbymaxyK.(10)记byayyfe)(,nxmxxge)(.(11)由微分法可知)(yf是单峰函数,在焦点的纵坐标bay/时取8得最大值,在0y和y时取得最小值零.在区间[0,a/b]上f(y)从零严格单调增加到最大值,在无穷区间ya/b上f(y)严格单调减少而趋向零.同理,)(xg是单峰函数,在焦点的横坐标nmx/时取得最大值,在0x时和x时取得最小值零.在区间[0,m/n]上g(x)从零严格单调增加到最大值,在无穷区间xm/n上g(x)严格单调减少而趋向零.因此（9）式中的K必须满足不等式：0:e0KnbmaKmamama.(12)通过以上事实容易知道,当(9)式中的K在(0,K0)中取值时,对应的轨道是一个包围焦点型奇点(m/n,a/b)的闭轨.因此,本方程组的奇点(m/n,a/b)是中心.在第一象限内中心的周围充满着包围中心的闭轨.这说明了当初始值x0,y0都大于零时,鬚鲸与南极虾都不会灭绝,而且它们的数量呈周期性变化.参见下图:yx