高二年级理科数学选修2-1期末试卷

1高二年级理科数学选修2-1期末试卷（测试时间：120分钟满分150分）注意事项：答题前，考生务必将自己的班级、姓名、考试号写在答题纸的密封线内．答题时，答案写在答题纸上对应题目的空格内，答案写在试卷上无效．．．．．．．．．．本卷考试结束后，上交答题纸．一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1.已知命题tan1pxRx：，使，其中正确的是（）(A)tan1pxRx：，使(B)tan1pxRx：，使(C)tan1pxRx：，使(D)tan1pxRx：，使2.抛物线24(0)yaxa的焦点坐标是（）（A）（a,0）（B）(－a,0)（C）（0,a）（D）（0,－a）3.设aR，则1a是11a的（）（A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件4.已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）（A）2（B）3（C）4（D）55.有以下命题：①如果向量ba,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么ba,的关系是不共线；②,,,OABC为空间四点，且向量OCOBOA,,不构成空间的一个基底，则点,,,OABC一定共面；③已知向量cba,,是空间的一个基底，则向量cbaba,,也是空间的一个基底。其中正确的命题是（）（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③6.如图：在平行六面体1111DCBAABCD中，M为11CA与11DB的交点。若aAB，bAD，cAA1则下列向量中与BM相等的向量是（）（A）cba2121（B）cba2121（C）cba2121（D）cba21217.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是（）（A）1203622yx（x≠0）（B）1362022yx（x≠0）（C）120622yx（x≠0）（D）162022yx（x≠0）8.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1,y1）B（x2,y2）两点，如果21xx=6，那么AB＝（）MC1CB1D1A1ABD2（A）6（B）8（C）9（D）109.若直线2kxy与双曲线622yx的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是（）（A）（315,315）（B）（315,0）（C）（0,315）（D）（1,315）10.试在抛物线xy42上求一点P，使其到焦点F的距离与到1,2A的距离之和最小，则该点坐标为（）（A）1,41（B）1,41（C）22,2（D）22,211.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，如果AB=BC=1，AA1=2，那么A到直线A1C的距离为（）（A）263（B）362（C）233（D）6312.已知点F1、F2分别是椭圆22221xyab的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e为（）（A）12（B）22（C）13（D）33二、填空题（每小题4分，共4小题，满分16分）13.已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=___________。14.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。当水面升高1米后，水面宽度是________米。15.如果椭圆193622yx的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是___________。16.①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在ABC中，“60B”是“CBA,,三个角成等差数列”的充要条件.③12xy是32xyxy的充要条件；④“am2bm2”是“ab”的充分必要条件.以上说法中，判断错误的有___________.三、解答题（共6小题，满分74分）17.（本题满分12分）设p：方程210xmx有两个不等的负根，q：方程244(2)10xmx无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．318.（本题满分12分）已知椭圆C的两焦点分别为12,0,0FF-22、22，长轴长为6，⑴求椭圆C的标准方程;⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点,求线段AB的长度。.19.（本题满分12分）如图，已知三棱锥OABC的侧棱OAOBOC，，两两垂直，且1OA，2OBOC，E是OC的中点。（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值。20.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线2y＝2x相交于A、B两点。（1）求证：命题“如果直线l过点T（3，0），那么OBOA＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。421.（本题满分14分）如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=22.（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P—CD—B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离.22.（本题满分12分）如图所示，F1、F2分别为椭圆C：)0(12222babyax的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点)23,1(到F1、F2两点的距离之和为4.（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F1PQ的面积.PDBCA5高二年级理科数学选修2-1期末试卷参考答案一、选择题：二、填空题：13、214、2415、082yx16、③④三、解答题：17、解：若方程210xmx有两个不等的负根，则212400mxxm，…………2分所以2m，即:2pm．………………………………………………………3分若方程244(2)10xmx无实根，则216(2)160m，…………5分即13m，所以:13pm．…………………………………………………6分因为pq为真，则,pq至少一个为真，又pq为假，则,pq至少一个为假．所以,pq一真一假，即“p真q假”或“p假q真”．……………………………8分所以213mmm或或213mm…………………………………………………10分所以3m或12m．故实数m的取值范围为(1,2][3,)．…………………………………………12分18、解：⑴由12,0,0FF-22、22，长轴长为6得：22,3ca所以1b∴椭圆方程为22191xy…………………………………………………5分⑵设1122(,),(,)AxyBxy,由⑴可知椭圆方程为22191xy①,∵直线AB的方程为2yx②……………………………7分把②代入①得化简并整理得21036270xx∴12121827,510xxxx……………………………10分又222182763(11)(4)5105AB……………………………12分题号123456789101112答案CAABCABBDACD619、解：（1）以O为原点,OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.则有(0,0,1)A、(2,0,0)B、(0,2,0)C、(0,1,0).E……………………………3分(2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(0,2,1)EBACCOS,EBAC22,555……………………………5分所以异面直线BE与AC所成角的余弦为52……………………………6分（2）设平面ABC的法向量为1(,,),nxyz则11:20;nABnABxz知11:20.nACnACyz知取1(1,1,2)n，………8分则303065012,cos1nEB，…………………10分故BE和平面ABC的所成角的正弦值为3030…………12分20、证明：（1）解法一：设过点T(3,0)的直线l交抛物线2y=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于A(3,6)、B(3,－6)，∴3OBOA。……………………………3分当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.)3(22xkyxy得ky2－2y－6k=0,则y1y2=－6.又∵x1=21y12,x2=21y22,∴OBOA=x1x2+y1y2=21221)(41yyyy=3.……………………………7分综上所述,命题“......”是真命题.……………………………8分解法二：设直线l的方程为my=x－3与2y=2x联立得到y2-2my-6=0OBOA=x1x2+y1y2=(my1+3)(my2+3)+y1y2=(m2+1)y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1)×(-6)+3m×2m+9＝3………8分（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果3OBOA,那么该直线过点T(3,0).”…………………………………………………10分7该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2),B(21,1),此时3OBOA=3,直线AB的方程为y=32(x+1),而T(3,0)不在直线AB上.………………………………12分点评：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足3OBOA,可得y1y2=－6。或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2,可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0)。21、解：方法一：证：⑴在Rt△BAD中，AD=2，BD=22，∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥PA.又∵PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC.解：（2）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角.又∵PA=AD，∴∠PDA=450.（3）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD=22，设C到面PBD的距离为d，由PBDCBCDPVV，有dSPASPBDBCD3131，即d0260sin)22(21312222131，得332d方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.………………2分在Rt△BAD中，AD=2，BD=22，∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），∴)0,2,2(),0,2,2(),2,0,0(BDACAP∵0,0ACBDAPBD，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC.…………4分解：（2）由（1）得)0,0,2(),2,2,0(CDPD.设平面PCD的法向量为),,(1zyxn，则0,011CDnPDn，即00020220xzy，∴zyx0故平面PCD的法向量可取为)1,1,0(1n∵PA⊥平面ABCD，∴)01,0(AP为平面ABCD的法向量.……………………………7分设二面角P—CD—B的大小为，依题意可得22cos11APnAPn.……………………………9分（3）由（Ⅰ）得)2,2,0(),2,0,2(PDPB，设平面PBD的法向量为),,(2zyxn，yzDPABCx8则0,022PDnPBn，即02200202zyzx，∴x=y=z，故可取为)1,1,1(2n.……………11分∵)2,2,2(PC，∴C到面PBD的距离为33222nPCnd…………………14分22、解：（1）由