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数学建模二学号：姓名：班级：投资的收益和风险问题摘要：某投资公司现有一大笔资金（8000万），可用作今后一段时间的市场投资，假设可供选择的四种资产在这一段时间的平均收益率分别为ir，风险损失率分别为iq。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的资产中最大的一个风险来度量。另外，假定同期银行存款利率是0r=5%。具体数据如下表：资产ri(%)qi(%)S1328.5S2265.5S381S41610对于第一问，我建立了一个优化的线性规划模型，得到了不错的结果。假设5年的投资时间，我认为五年末所得利润最大可为：37.94亿。具体如何安排未来一段时间内的投资，请看下面的详细解答。如果可供选择的资产有如下15种，可任意选定投资组合方式，就一般情况对以上问题进行讨论，结果又如何？Siri(%)qi(%)S1429.6S25418.5S36049.4S44223.9S58.11.2S63914S76840.7S833.431.2S953.333.6S104026.8S113111.8S1225.59S134635S1415.39.4S153315对于第二问，考虑独立投资各个项目的到期利润率，通过分析，发现数据中存在着相互的联系。由此，我建立了一个统计回归模型:x5=a0+a1*x4+a2*x3+a3*x2+a4*x1+a5*x1^2+a6*x2^2+a7*x3^2+a8*x4^2通过这个模型，我预测了今后5年各个项目的到期利润率。如第一个项目今后五年的到期利润率为：第一年：0.1431第二年：0.1601第三年：0.0605第四年：0.1816第五年：0.1572。（其他几个项目的预测祥见下面的解答）考虑风险损失率时，定义计算式为：f=d*p;d为该项目5年内的到期利润率的标准差，p为到期利润率；考虑相互影响各个项目的到期利润率时，我们在第一个模型的基础上建立一新的模型：x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*x5(两个项目互相影响的模型)x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5+a16*z5y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*z5+a26*x5z5=a30+a31*z4+a32*z3+a33*z2+a34*z1+a35*x5+a37*y5(三个项目互相影响的模型)通过解方程组，我们可以预测出今后五年的到期利润率。而且得到的结果也较为满意。关键词：线性规划，统计自回归模型，风险损失率，0-1变量法，数据拟合。模型的建立和求解符号假设：Z:利润Xij:第i年对第j项目的投资额s.t.subjectto，引出目标约束条件。maxz=1.8x27+1.45x35+1.5x36+1.55x38+1.25x43+1.27x44+1.1x51+1.11x52st2)x11+x12+x13+x14+x15+x16=2000003)-0.1x11-0.11x12+x13+x14+x15+x16+x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27=2000004)-0.1x11-0.11x12-0.25x13-0.27x14+x15+x16+0.1x21+0.11x22+x23+x24+x25+x26+x27+x31+x32+x33+x34+x35+x36+x38=2000005)-0.1x11-0.11x12-0.25x13-0.27x14-0.45x15-0.5x16+0.1x21+0.11x22-0.25x23-0.27x24+x25+x26+x27-0.1x31-0.11x32+x33+x34+x35+x36+x38+x41+x42+x43+x44=2000006)-0.1x11-0.11x12-0.25x13-0.27x14-0.45x15-0.5x16+0.1x21+0.11x22-0.25x23-0.27x24-0.45x25-0.5x26+x27-0.1x31-0.11x32-0.25x33-0.27x34+x35+x36+x38-0.1x41-0.11x42+x51+x52=2000007)x17=08)x18=09)x28=010)x37=011)x45=012)x46=013)x47=014)x48=015)x53=016)x54=017)x55=018)x56=019)x57=020)x58=021)x11=6000022)x21=6000023)x31=6000024)x41=6000025)x51=6000026)x12=3000027)x22=3000028)x32=3000029)x42=3000030)x52=3000031)x13=4000032)x23=4000033)x33=4000034)x43=4000035)x14=3000036)x24=3000037)x34=3000038)x44=3000039)x15=3000040)x25=3000041)x35=3000042)x16=2000043)x26=2000044)x36=2000045)x27=4000046)x38=30000利用lindo软件可以解得项目一项目二项目三项目四项目五项目六项目七项目八第一年000022222.222656000第二年000000400000第三年00003000020000030000第四年0040000300000000第五年6000030000000000利润最大为：37.9400亿模型的分析由于各项目的模型原理一样，所以只分析项目一的模型。（1）独立投资的到期利润率画出数据的散点图：我认为，数据之间存在着一定的相互关系（制约或促进），由此我提出一个线性自回归模型：x5=a0+a1*x4+a2*x3+a3*x2+a4*x1+a5*x1^2+a6*x2^2+a7*x3^2+a8*x4^2通过数据拟合，我们可以得到模型的系数A0A1A2A3A4A5A6A7A8-0.11960.66501.39073.21080.2689-5.9827-7.2394-10.89880.0272数据模拟的matlab程序为：x5=p(5:20);x1=p(4:19);x2=p(3:18);x3=p(2:17);x4=p(1:16);x=[x1'x2'x3'x4'];rstool(x,x5','purequadratic')在随后出现的图形界面中选择export-parameters，就可以得到各参数值。模型检验：我们将实验数据代如模型中检验，并历史数据与模型数据的散点图，从图中可以很直观得看到，二者吻合程度很好。数据预测：通过这个模型，我们可以预测今后五年的项目一的到期利润率。预测方法如下，先将5年数据分成五组数据，但为了减少误差，可以采用隔点取点法。然后代入模型中就可以得到五年后各年的到期利润率。Matlab程序如下：functionA=yuce(beta,p)fori=1:16u(i,:)=[1,p(i+3:-1:i),p(i+3:-1:i).^2];EndA=u*beta;程序解释：beta为模型各系数，p为各年到期利润率。预测结果如下：（包含其他项目的预测结果，但每个项目的模型具体不一样。由于原理一样，就不赘述）预测项目一项目二项目三项目四项目五项目六项目七项目八第一年0.14310.17720.3030.34620.32281.40810.66553.3579第二年0.16010.20650.34270.29643.1951.57884.96133.5422第三年0.06050.19890.18220.42160.2604-0.6392-6.6781-0.4447第四年0.18160.20130.58450.28240.2940.418513.5779-0.7797第五年0.15720.2230.38970.328-0.49771.004-10.08894.0387（2）独立投资的风险损失率：我们定义风险损失率的表达式为：f=d*p;其中f为风险损失率，d为标准差,当当年到期利润率=0时，p=0,当到期利润率0时，p=当年到期利润率的绝对值。根据这个定义，我们可以得到各项目在各年的风险损失率。如下：项目一项目二项目三项目四项目五项目六项目七项目八第一年00000000第二年00000000第三年000000.592555.1110.9601第四年00000001.6834第五年00000.5409083.25860相互影响下到期利润率：在独立投资到期利润率模型的基础上，我们考虑两个项目相互影响的模型。（先考虑项目三四的模型，五六的模型相似，五六八的模型另做考虑）由题意理解可知，项目三数据既与以前的数据有关，也与项目四有关，项目四也是如此，所以我们提出一个自相关与相关回归模型。x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*x5模型解释：xi对项目三的投资额Yi对项目四的投资额Aij项目三（四）的自相关系数A15a25项目三与项目四之间的相关系数模型求解x5=p(5:20);x1=p(4:19);x2=p(3:18);x3=p(2:17);x4=p(1:16)xt=[x1',x2',x3',x4',y5'];rstool(xt,x5','linear')y5=y(5:18);y1=y(4:17);y2=y(3:16);y3=y(2:15);y4=y(1:14);x5=x(5:18);yt=[y1',y2',y3',y4',z5'];rstool(zt,z5','linear')在随后出现的图形界面中选择export-parameters，就可以得到各参数值。各参数如下：A0A1A2A3A4A5项目三1.5469-0.0067-0.63400.0929-0.2576-1.5662项目四0.46090.25050.0490-0.29830.1147-0.1629利用这个模型，当我们预测数据时，我们可以构造一二元一次方程组，解这个方程组即可得到该年的到期利润率。Matlab程序如下：functionC=jie(beta1,beta2,x,y,c,d)A=[1,-c;-d,1];a=x*beta1(1:5);b=y*beta2(1:5);B=[a;b];C=inv(A)*B;程序解释：betai是各项目的相关系数X,Y,x=[x1,x2,x3,x4,x5],xi同上Y=[y1,y2,y3,y4,y5],yi同上Cc=a15(a15解释如上)Dd=a25(a15解释如上)得到相互影响下三四的到期利润率为：第一年第二年第三年第四年第五年项目三0.54080.44190.35420.39870.5485项目四0.42110.45800.48060.47330.4464同理得到五六的到期利润率为：第一年第二年第三年第四年第五年项目三0.85811.39891.14860.98350.5494项目三1.07680.4593-0.94671.7979-0.0506相互影响下项目五六八的模型：x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5+a16*z5y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*z5+a26*x5z5=a30+a31*z4+a32*z3+a33*z2+a34*z1+a35*x5+a37*y5模型求解：A0A1A2A3A4A5项目五1.08710.03390.00140.3866-0.4966-0.2461-0.0283项目六0.4961-0.02720.02970.0578-0.31640.15740.2273项目八1