欧拉方程的求解

1欧拉方程的求解1.引言在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（LeonhardEuler,1707--1783）.几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用表示圆周率、e表示自然对数的底、()fx表示函数、表示求和、i表示虚数单位以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如Kyx的解，进而求得欧拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.2.几类欧拉方程的求解定义1形状为()1(1)110nnnnnnyaxyaxyayx（1）的方程称为欧拉方程.（其中1a，2a，，1na，na为常数）22.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如Kyx的解）二阶齐次欧拉方程：2120xyaxyay.（2）(其中1a,2a为已知常数）我们注意到，方程（2）的左边y、y和y的系数都是幂函数（分别是2x、1ax和02ax），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数Kyx来尝试，看能否选取适当的常数K，使得Kyx满足方程（2）.对Kyx求一、二阶导数，并带入方程（2），得212()0KKKKKxaKxax或212[(1)]0KKaKax,消去Kx，有212(1)0KaKa.（3）定义2以K为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程.由此可见，只要常数K满足特征方程（3），则幂函数Kyx就是方程（2）的解.于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论：定理1方程（2）的通解为(i)1112lnKKycxcxx,（12KK是方程（3）的相等的实根）(ii)1212KKxcxyc,(12KK是方程（3）的不等的实根)(iii)12cos(ln)sin(ln)xxcxxyc.（1,2Ki是方程（3）的一对共轭复根）（其中1c、2c为任意常数）3证明（i）若特征方程（3）有两个相等的实根:12KK，则11Kxy是方程（2）的解,且设2()uxy，11()Kyxux（()ux为待定函数）也是方程（2）的解（由于21()yuxy，即1y，2y线性无关），将其带入方程（2），得11122111112[()2]()0KKKxKKuKxuxuaxKuxuaxu,约去1Kx，并以u、u、u为准合并同类项，得22111112(2)[(1)]0xuKaxuKaKau.由于1K是特征方程（3）的二重根，因此21112(1)0KaKa或112(1)0Ka,于是，得20xuux或0xuu,即()0xu,故12()lnuxcxc.不妨取()lnuxx，可得方程（2）的另一个特解12lnKyxx,所以，方程（2）的通解为41112lnKKycxcxx.（其中1c，2c为任意常数）（ii）若特征方程（3）有两个不等的实根:12KK，则11Kxy，22Kyx是方程（2）的解.又2211()21KKKKyxxyx不是常数，即1y，2y是线性无关的.所以，方程（2）的通解为1212KKxcxyc.（其中1c，2c为任意常数）（iii）若特征方程（3）有一对共轭复根：1,2Ki（0），则()1ixy，()2iyx是方程（2）的两个解，利用欧拉公式，有()ln1(cos(ln)sin(ln))iixxxexxixy，()ln2(cos(ln)sin(ln))iixxxexxixy,显然，12cos(ln)2yyxx和12sin(ln)2yyxxi是方程（2）的两个线性无关的实函数解.所以，方程（2）的通解为12cos(ln)sin(ln)xxxxycc.（其中1c，2c为任意常数）5例1求方程20xyxyy的通解.解该欧拉方程的特征方程为(1)10KKK，即2(1)0K,其根为：121KK,所以原方程的通解为12(ln)yccxx.（其中1c，2c为任意常数）例2求方程280xyxyy的通解.解该欧拉方程的特征方程为2(11)80KK，即2280KK,其根为：12K，24K，所以原方程的通解为4122cycxx.（其中1c，2c为任意常数）例3求方程的通解2350xyxyy.解该欧拉方程的特征方程为(1)350KKK，即2250KK,6其根为：1,212Ki,所以原方程的通解为121[cos(2ln)sin(2ln)]ycxcxx.（其中1c，2c为任意常数）2.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）二阶非齐次欧拉方程：212()xyaxyayfx.（4）（其中1a，2a为已知实常数，()fx为已知实函数）为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设1121aKK，212aKK,（5）则方程（4）变为212122)(1()KaxyKKxyKyfx，即212()()()xxyKyKxyKyfx,（6）根据韦达定理，由（5）式可知，1K，2K是一元二次代数方程212(1)0KaKa（3）的两个根.具体求解方法：定理2若1K，2K为方程（2）的两个特征根，则方程（4）的通解为212111[()]KKKKyxxxfxdxdx.（7）证明因为1K，2K为方程（2）的两个特征根，7于是方程（4）等价于方程（6），令2xyKyp,代入方程（6）并整理，得1()Kfxpxxp和2Kpyyxx,解之，得方程（4）的通解为212111[()]KKKKyxxxfxdxdx.由定理2知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.定理3若1K，2K为方程（2）的两个特征根，则（i）当12KK是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为11111[ln()ln()]KKKxxfxdxxxfxdxyx,（ii）当12KK是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为112211121[()()]KKKKxxfxdxxxfxdxKKy,（iii）当1,2Ki是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）的通解为111[sin(ln)cos(ln)()cos(ln)sin(ln)()]yxxxxfxdxxxxfxdx证明（ii）当12KK是方程（2）的互不相等的的实特征根时，将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得821212112212121121111211212112111[()]1[()]1{[()]}1[]()()()KKKKKKKKKKKKKKKKKKKxxxfxdxdxxxfxdxdxKKxxxdxfxdxKKxxKKyxfxdxxfxdxxfxdx（8）（iii）当1,2Ki是方程（2）的共轭复特征根时，122KKi，再由欧拉公式有1ln[cos(ln)sin(ln)]Kiixxxexxixx,2ln[cos(ln)sin(ln)]Kiixxxexxixx,将其代入(8)式，整理可得方程（4）的通解为111[sin(ln)cos(ln)()cos(ln)sin(ln)()]xxxxfxdxxxxfxdxy（i）的证明和（ii）类似.例1求方程22234lnyxyyxxxx的通解.解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2440KK，特征根为122KK,所以由定理3，原方程的通解为23223222232122223212[ln(ln)ln(ln)]111{ln[(ln)ln][(ln)(ln)]}23211ln[(ln)(ln)]62xxxxxdxxxxxxdxxxxcxxcxxcxxxxyxxc（其中1c，2c为任意常数）9例2求方程2322xxyxyyxe的通解.解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2320KK，特征根为12K，21K，所以由定理3，原方程的通解为23323212212()()xxxxxxxxedxxxxedxxecxxeeccxcxxeyx（其中1c，2c为任意常数）例3求方程2cos(ln)2xxxyxyy的通解.解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2220kk，特征根为1,21Ki,所以由定理3，原方程的通解为212122cos(ln)]cos(ln)cos(ln)11sin(ln)cos(ln)cos(ln))sin(ln)cos(ln)sin(ln)cos(ln)sin(ln)[sin(ln)]{sin(ln)(ln)cos(ln)[ln(cos(ln)]}[][sin(ln)lnxxxxdxdxxxxdxxdxxxxxcxyxxxxxxxxxxcxxcxcxxxcos(ln)ln(cos(ln))]xx（其中1c，2c为任意常数）在定理3中，若令()0fx，则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解.10推论方程（2）的通解为(i)1112lnKKxcxxyc,（12KK是方程（2）的相等的实特征根）(ii)1212KKxcxyc,（12KK是方程（2）的不等的实特征根）(iii)12cos(ln)sin(ln)xxcxxyc.（1,2Ki是方程（2）的共轭复特征根）（其中1c，2c为任意常数）2.3三阶非齐次欧拉方程的求解（常数变易法）三阶非齐次欧拉方程：32123()xyaxyaxyayfx.（9）（其中1a，2a，3a为常数）（9）对应的齐次方程为321230xyaxyaxyay.（10）特征方程为321123(3)(2)0KaKaaKa.（11）定理4设1K是方程（11）的根，2K是方程22122112(31)[3(1)2]0KKaKKKaKa的根，则（9）的通解为12211211(231)(22){[()]}KKKKaKKaxxxfxdxdxdxyx.（12）证明根据条件1Kycx（c为任意常数）是方程（10）的解.设1()Kycxx是方程（9）的解（其中()cx是待定的未知数），将其代入方程（9），整理得1121111112(3)3231111213()(3)()[3(1)2]()[(3)(2)]()()KcxKaxcxKKaKaxcxKaKaaKaxcxxfx（13）11因为1K是（11）的根，则321111213